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BPE 12 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/12 18:45
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AFB III L’Hospital

Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion f mit f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q},  „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion g mit g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} .
Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten  x-Wert x_0  ist f(x)>g(x)  für alle x>x_0 .

Betrachtet man z. B. die Funktionen f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x und g(x)= x^{100} , so scheint dies nicht der Fall zu sein (vgl. Abbildung).

LhospitalPlot.PNG

Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.

Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen f und g Folgendes besagt:

\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}

(Die Regel setzt man ein, wenn für   x \rightarrow \infty Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen -\infty oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen  +\infty  gehen.)

Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für x \rightarrow -\infty und für x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}.

#problemlösen

AFB   IIIKompetenzen   K2 K4 K5 K6Bearbeitungszeit   30 min
Quelle   Dr. Andreas DinhLizenz   CC BY-SA

Eine in \mathbb{R} definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion f mit erster Ableitungsfunktion f' und zweiter Ableitungsfunktion f'' hat folgende Eigenschaften:

  • f hat bei x_1 eine Nullstelle.
  • Es gilt f'(x_2)=0 und f''(x_2)\neq 0.
  • f' hat ein Minimum an der Stelle x_3.

Die Abbildung zeigt die Positionen von x_1, x_2 und x_3:
Koordinatensystem.PNG

  1. Begründe, dass der Grad von f mindestens 3 ist.
  2. Skizziere in der Abbildung einen möglichen Graphen von f.

#iqb

AFB   k.A.Kompetenzen   K1 K4 K6Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY

Eine in \mathbb{R} definierte Kosinusfunktion f hat die Periode p. Der Punkt \left(\frac{p}{2}\middle| p\right) ist ein Hochpunkt des Graphen von f, der Punkt \left(\frac{p}{4}\middle|\frac{p}{2}\right) ein Wendepunkt. Bestimme die Steigung des Graphen von f an der Stelle \frac{p}{4}.

#iqb

AFB   k.A.Kompetenzen   K1 K2 K4 K5 K6Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY

Gegeben sind die Funktion f:\ x\mapsto\sqrt{x} mit Definitionsmenge \mathbb{R}_0^+ und die Gerade g mit der Gleichung y=\frac{1}{4}x. Betrachtet wird das Intervall, das von den x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte des Graphen von f und der Gerade g begrenzt wird.

In diesem Intervall gibt es eine Stelle, an der die lokale Änderungsrate von f mit der mittleren Änderungsrate von f in diesem Intervall übereinstimmt. Bestimme diese Stelle.

#iqb

AFB   k.A.Kompetenzen   K1 K2 K5 K6Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY

Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

K1K2K3K4K5K6
I000000
II000000
III010111
Bearbeitungszeit gesamt: 30 min
Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst