BPE 12 Einheitsübergreifend

1  Differentialquotient  (8 min) 𝕃

Berechne den Differentialquotienten an der Stelle \(x_0=1\) für folgende Funktionen:

1. \(f(x)=x^2+3\)
2. \(f(x)=3\cdot x^2\)

2  L’Hospital  (30 min) 𝕃

Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion f mit \( f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}, \) „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion g mit \( g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} \).
Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten  \(x\)-Wert \(x_0 \) ist \( f(x)>g(x) \) für alle \(x>x_0 \).

Betrachtet man z. B. die Funktionen \( f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x\) und \( g(x)= x^{100} \), so scheint dies nicht der Fall zu sein (vgl. Abbildung).

Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.

Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen f und g Folgendes besagt:

(Die Regel setzt man ein, wenn für  \( x \rightarrow \infty\) Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen \(-\infty\) oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen  \(+\infty \) gehen.)

Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für \( x \rightarrow -\infty\) und für \( x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}\).

3  Grad, Skizze  (k.A.) 𝕃

Eine in \(\mathbb{R}\) definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion \(f\) mit erster Ableitungsfunktion \(f'\) und zweiter Ableitungsfunktion \(f''\) hat folgende Eigenschaften:

• \(f\) hat bei \(x_1\) eine Nullstelle.
• Es gilt \(f'(x_2)=0\) und \(f''(x_2)\neq 0\).
• \(f'\) hat ein Minimum an der Stelle \(x_3\).

Die Abbildung zeigt die Positionen von \(x_1, x_2\) und \(x_3\):

1. Begründe, dass der Grad von \(f\) mindestens 3 ist.
2. Skizziere in der Abbildung einen möglichen Graphen von \(f\).

4  Kosinusfunktion, Periode, Steigung  (k.A.) 𝕃

Eine in \(\mathbb{R}\) definierte Kosinusfunktion \(f\) hat die Periode \(p\). Der Punkt \(\left(\frac{p}{2}\middle| p\right)\) ist ein Hochpunkt des Graphen von \(f\), der Punkt \(\left(\frac{p}{4}\middle|\frac{p}{2}\right)\) ein Wendepunkt. Bestimme die Steigung des Graphen von \(f\) an der Stelle \(\frac{p}{4}\).

5  Lokale und mittlere Änderungsrate  (k.A.) 𝕋  𝕃

Gegeben sind die Funktion \(f:\ x\mapsto\sqrt{x}\) mit Definitionsmenge \(\mathbb{R}_0^+\) und die Gerade \(g\) mit der Gleichung \(y=\frac{1}{4}x\). Betrachtet wird das Intervall, das von den x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte des Graphen von \(f\) und der Gerade \(g\) begrenzt wird.

In diesem Intervall gibt es eine Stelle, an der die lokale Änderungsrate von \(f\) mit der mittleren Änderungsrate von \(f\) in diesem Intervall übereinstimmt. Bestimme diese Stelle.

6  Fichtenwachstum  (12 min)

Das Wachstum einer Fichte soll mit einer Exponentialfunktion der Form \(f(t)=a\cdot e^{kt}\) mit t in Jahren und f(t) in Metern modelliert werden. Zum Pflanzzeitpunkt hat die Fichten eine Größe von 60 cm. Nach 2 Jahren ist sie bereits um 52 cm gewachsen.

1. Bestimme die Größe der Fichte nach 5 Jahren.
2. Berechne den jährlichen Zuwachs in Prozent.
3. Erläutere die Grenzen des Modells.

Ein besseres Modell für das Wachstum ist die Funktion h mit \(h(t)=\frac{30}{29\cdot e^{-0,1758t} + 1}\).

1. Berechne, wie groß die Fichte im ausgewachsenen Zustand sein wird.
2. Bestimme den mittleren Zuwachs in den Jahren 5 bis 10.
3. Berechne den Zeitpunkt, wann die Fichte am schnellsten wächst.

7  Ableitungsregeln entdecken und begründen  (30 min) 𝕃

Gegeben sind eine reelle Zahl a sowie zwei lineare Funktionen \(f_i\) mit \(f_i(x)=m_i x+b_i\) für \(i=1,2\).

1. Ermittle rechnerisch (mittels Definition der Verknüpfung bzw. Verkettung) die Hauptform der folgenden zusammengesetzten Funktionen:

   1. Summenfunktion \(f=f_1 + f_2\)
   2. Vielfachenfunktion \(f=a \cdot f_1\)
   3. Produktfunktion \(f=f_1\cdot f_2\).
   4. Verkettung \(f=f_2\circ f_1\).
       
2. Ermittle rechnerisch (mittels Definition des Differenzialquotienten) aus der Hauptform von f die Hauptform der ersten Ableitung f' von f.

3. Zeige, dass sich f' folgendermaßen schreiben lässt:

   1. Summenfunktion \(f'=f_1' + f_2'\)
   2. Vielfachenfunktion \(f'=a \cdot f_1'\)
   3. Produktfunktion \(f'=f_1'\cdot f_2+f_1\cdot f_2'\)
   4. Verkettung \(f'=(f_2'\circ f_1) \cdot f_1'\).
       
4. Recherchiere die Ableitungsregeln (vgl. Merkhilfe, S. 5).
5. Begründe bzw. plausibilisiere, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Ableitungsregeln für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt sind.

Anmerkung, insbesondere zu Teilaufgabe e). Jede differenzierbare Funktion ist lokal "linear", genauer: "linear approximierbar" (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von u gilt die Näherung \(f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u)\). Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche erwiesenermaßen die Ableitungsregeln erfüllen.

8  Exponentialfunktion ableiten  (15 min) 𝕃

Gegeben ist eine Exponentialfunktion \(f_q\) mit \(f_q(x)=q^x\) für q>0. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung \(f_q'\) untersuchen und gehen dabei folgendermaßen vor.

1. Zeige, dass gilt: \(f_q'(x)=f_q(x)\cdot f_q'(0)\).
2. Untersuche die Abbildung \(q\mapsto f_q'(0)\) mit dem WTR. Kennst du für den Funktionsterm eine passende Bezeichnung?
   Ansatz. Wähle für q Potenzen von e und approximiere den Differenzialquotienten durch Differenzenquotienten mit kleinen Nennern.
3. Zeige unter Verwendung der Kettenregel und folgender Anmerkung die Ableitungsregel für die Exponentialfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe. Dort wird der Funktionsterm \(e^{bx}\) betrachtet, das ist für \(b=\ln(q)\) der Funktionsterm von \(f_q\), nämlich \(e^{bx}=e^{\ln(q)x}=q^x=f_q(x)\).

Anmerkung.

1. Es gilt folgende Gleichung: \(f_q'(0)=\ln(q)\).
   Das liefert einen alternativen Zugang zur natürlichen Logarithmusfunktion (als Alternative zu ihrer Erscheinungsweise als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion).
2. Es gilt die Äquivalenz folgender Gleichungen: \(\lim_{h\to 0} \frac{q^h-1}{h}=1 \Leftrightarrow q=e\).
   Das charakterisiert zunächst eine reelle Zahl, die wir durch "\(e\)" bezeichnen" und das zeichnet weiter die natürliche Exponentialfunktion (zur Basis e) unter allen Exponentialfunktionen aus: \(f_e'(x)=f_e(x)\) bzw. kurz \(f_e'=f_e\).
3. Es gelten allgemein folgende Gleichungen für die erste Ableitung: \(f_q'(x)=\ln(q)\cdot f_q(x)\) bzw. kurz \(f_q'=\ln(q)\cdot f_q\).

9  Potenzregel und Produktregel  (30 min) 𝕃

Gegeben ist eine Funktion f mit \(f(x)=x^k\).

1. Zeige die Instanz der Potenzregel für \(k=0,1,2\) mittels Definition des Differenzialquotienten.
2. Zeige die Instanz der Potenzregel für \(k=3,4\) mittels Produktregel.
   Ansatz. \(f(x)=x^3=x^2\cdot x\) bzw. \(f(x)=x^4=x^3\cdot x\).
3. Zeige die Instanz der Potenzregel für \(k=5\) mittels Produktregel auf mindestens drei Weisen.
   Ansatz. \(f(x)=x^5=x^4\cdot x=x^3\cdot x^2= x^{12}\cdot x^{-7}\) oder ähnliches.
4. Zeige die Instanz der Potenzregel für \(k=1/2\).
   Ansatz (implizites Differenzieren). Betrachte die Hilfsfunktion h mit \(h(x)=f(x)\cdot f(x)=x\). Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) \(1=h'(x)=2 f(x) f'(x)\) nach \(f'(x)\) auf.
5. Zeige die Instanz der Potenzregel für \(k=-n\) mit \(n\in \mathbb{N}^*\).
   Ansatz (implizites Differenzieren). Betrachte die Hilfsfunktion h mit \(h(x)=x^n\cdot f(x)=1\). Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) \(0=h'(x)=(x^n)'\cdot f(x)+x^n\cdot f'(x)\) nach \(f'(x)\) auf.
6. Zeige die Ableitungsregel für Potenzfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe, d.h., die Instanz der Potenzregel für \(k\in \mathbb{R}_+^*\).
   Ansatz. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung \(f(x)=x^k=e^{k\cdot \ln(x)}\) von f und verwende die Ableitung der e-Funktion zzgl. Kettenregel.

Anmerkung. In der letzten Teilaufgabe leistet die Fortsetzung \(e^{k\cdot \ln(x)}\) der Funktionsgleichung von f (geradezu nebenbei) die (längst überfällige) Definition von Potenzen mit positiv reellen Exponenten.

10  Winkelfunktionen  (15 min) 𝕃

Gegeben sind die Winkelfunktionen \(\sin, \cos\) mit Definitionsbereich \(\mathbb{R}\) und zugehörigem Wertebereich \([-1;+1]\). Wir wollen ihre ersten Ableitungen \(\sin', \cos'\) ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor. Betrachte die Hilfsfunktion h mit \(h(x)=(\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1\) (trigonometrischer Pythagoras).

1. Implizites Differenzieren. Zeige, dass gilt: \(\sin(x)\sin'(x)=-\cos(x)\cos'(x)\).
2. Begründe bzw. plausibilisiere mittels Teilaufgabe (a) und graphisches Ableiten, dass \(\sin'=\cos\) und \(\cos'=-\sin\) gilt.
3. Zeige, dass aus \(\sin'=\cos\) mittels Kettenregel \(\cos'=-\sin\) folgt.
   Ansatz. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung \(\cos(x)=\sin(x-(-\pi/2))\) von \(cos\).
4. Zeige die Ableitungsregeln für Winkelfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe.

Anmerkung. Teilaufgabe (c) plausibilisiert die Behauptung in b).