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Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/10/23 09:42
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bearbeitet von Martin Rathgeb
am 2025/01/05 14:47
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am 2025/10/14 12:41
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.martinrathgeb
1 +XWiki.martinawagner
Inhalt
... ... @@ -1,6 +1,54 @@
1 1  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen anwenden
2 2  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen kombinieren
3 3  
4 +{{aufgabe id="Verknüpfung" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="6"}}
5 +Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
6 +
7 +a) {{formula}}f(x)= e^{x}+2x +9 {{/formula}}.
8 +b) {{formula}}f(x)=x \cdot sin(x) {{/formula}}.
9 +c) {{formula}}f(x)= \frac{2x^{3} + 4x}{x} {{/formula}}.
10 +
11 +
12 +{{/aufgabe}}
13 +
14 +{{aufgabe id="Verkettung" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="6"}}
15 +Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
16 +
17 +a) {{formula}}f(x)=(3x+4)^5{{/formula}}.
18 +b) {{formula}}f(x)=e^{-0,5x+3} {{/formula}}.
19 +c) {{formula}}f(x)=-0,5cos(2x-6) {{/formula}}.
20 +
21 +{{/aufgabe}}
22 +
23 +{{aufgabe id="Verknüpfung und Verkettung" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="8"}}
24 +Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
25 +
26 +a) {{formula}}f(x)=\sqrt{x} + cos (\pi {x}){{/formula}}.
27 +b) {{formula}}f(x)=e^{-0,5x}\cdot sin(6x-1) {{/formula}}.
28 +
29 +{{/aufgabe}}
30 +
31 +{{aufgabe id="Verknüpfung und Verkettung eAN" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" niveau= "e" cc="BY-SA" zeit="8"}}
32 +
33 +Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
34 +
35 +a) {{formula}}f(x)=e^{ln(0,75)x}+ln(9x-5) {{/formula}}
36 +b) {{formula}}f(x)=(3x+1)\cdot e^{-x^4} {{/formula}}.
37 +
38 +{{/aufgabe}}
39 +
40 +{{aufgabe id="Funktion und Ableitung" afb="III" kompetenzen="K2, K5, K6" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="8"}}
41 +
42 +Ein Funktionsterm und deren Ableitung wurde nur unvollständig gegeben. Ermittle mögliche Eintragungen für die Kästchen.
43 +Begründe, warum es mehrere Lösungen gibt.
44 +
45 +a) {{formula}}f(x)=e^{2x}\cdot\square {{/formula}}~ und~ {{formula}}f´(x)=2e^{2x}\cdot\square + 4e^{2x} {{/formula}}
46 +b) {{formula}}f(x)=\square\cdot \frac{1}{x} {{/formula}}~ und {{formula}}f´(x)= \frac{5}{2\sqrt\square}\cdot\square + \square\cdot\square {{/formula}}
47 +
48 +{{/aufgabe}}
49 +
50 +
51 +
4 4  {{aufgabe id="Ableitungsregeln entdecken und begründen" afb="III" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
5 5  Gegeben sind eine reelle Zahl //a// sowie zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} für {{formula}}i=1,2{{/formula}}.
6 6  (% class="abc" %)
... ... @@ -25,7 +25,7 @@
25 25  //Anmerkung//, insbesondere zu Teilaufgabe e). Jede differenzierbare Funktion ist //lokal// "linear", genauer: "linear approximierbar" (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von //u// gilt die Näherung {{formula}}f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u){{/formula}}. Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche erwiesenermaßen die Ableitungsregeln erfüllen.
26 26  {{/aufgabe}}
27 27  
28 -{{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
76 +{{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="III" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
29 29  Gegeben ist eine Exponentialfunktion {{formula}}f_q{{/formula}} mit {{formula}}f_q(x)=q^x{{/formula}} für //q>0//. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}f_q'{{/formula}} untersuchen und gehen dabei folgendermaßen vor.
30 30  (% class="abc" %)
31 31  1. Zeige, dass gilt: {{formula}}f_q'(x)=f_q(x)\cdot f_q'(0){{/formula}}.
... ... @@ -41,12 +41,12 @@
41 41  1. Es gelten allgemein folgende Gleichungen für die erste Ableitung: {{formula}}f_q'(x)=\ln(q)\cdot f_q(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_q'=\ln(q)\cdot f_q{{/formula}}.
42 42  {{/aufgabe}}
43 43  
44 -{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
92 +{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
45 45  Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion {{formula}}\ln{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}_+^*{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}}. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}\ln'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor.
46 46  //Implizites Differenzieren//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=e^{\ln(x)}=x{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}1=h'(x)=e^{\ln(x)}\cdot \ln'(x){{/formula}} nach {{formula}}\ln'{{/formula}} auf.
47 47  {{/aufgabe}}
48 48  
49 -{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
97 +{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="III" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
50 50  Gegeben ist eine Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^k{{/formula}}.
51 51  (% class="abc" %)
52 52  1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=0,1,2{{/formula}} mittels Definition des Differenzialquotienten.