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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,14 +1,14 @@
1 1  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen anwenden
2 2  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen kombinieren
3 3  
4 -{{aufgabe id="Verknüpfung" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="6"}}
4 +{{aufgabe id="Verknüpfung" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="6"}}
5 5  Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
6 6  
7 7  a) {{formula}}f(x)= e^{x}+2x +9 {{/formula}}.
8 8  b) {{formula}}f(x)=x \cdot sin(x) {{/formula}}.
9 -c) {{formula}}f(x)= \frac{2x^{2} + 3x}{x} {{/formula}}.
10 -d) {{formula}}f(x)= \frac{1}{x} - \sqrt{x}{{/formula}}.
9 +c) {{formula}}f(x)= \frac{2x^{3} + 4x}{x} {{/formula}}.
11 11  
11 +
12 12  {{/aufgabe}}
13 13  
14 14  {{aufgabe id="Verkettung" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="6"}}
... ... @@ -16,8 +16,7 @@
16 16  
17 17  a) {{formula}}f(x)=(3x+4)^5{{/formula}}.
18 18  b) {{formula}}f(x)=e^{-0,5x+3} {{/formula}}.
19 -c) {{formula}}f(x)=-cos(2x-6) {{/formula}}.
20 -d) {{formula}}f(x)=\frac{1}{(2x-7)^4} {{/formula}}.
19 +c) {{formula}}f(x)=-0,5cos(2x-6) {{/formula}}.
21 21  
22 22  {{/aufgabe}}
23 23  
... ... @@ -29,16 +29,39 @@
29 29  
30 30  {{/aufgabe}}
31 31  
32 -{{aufgabe id="Verknüpfung und Verkettung eAN" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="8"}}
31 +{{aufgabe id="Verknüpfung und Verkettung eAN" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" niveau= "e" cc="BY-SA" zeit="8"}}
32 +
33 33  Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
34 34  
35 -a) {{formula}}f(x)=e^{ln(0,75)x}+ln(9x-5) {{/formula}} {{niveau}}e{{/niveau}}.
36 -b) {{formula}}f(x)=x\cdot e^{-x^4} {{/formula}}.
35 +a) {{formula}}f(x)=e^{ln(0,75)x}+ln(9x-5) {{/formula}}
36 +b) {{formula}}f(x)=(3x+1)\cdot e^{-x^4} {{/formula}}.
37 37  
38 38  {{/aufgabe}}
39 39  
40 +{{aufgabe id="Korrekturen" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="8"}}
40 40  
42 +Tim hat zu einem gegebenen Funktionstermen eine Ableitung erstellt.
43 +Begründe, warum die Ableitung nicht korrekt ist.
41 41  
45 +{{formula}}f(x)=\frac{1}{(6x+9)^{4}} {{/formula}}~ und~ {{formula}}f´(x)=\frac{1}{4(6x+9)^{3}} {{/formula}}
46 +
47 +
48 +{{/aufgabe}}
49 +
50 +
51 +
52 +{{aufgabe id="Funktion und Ableitung" afb="III" kompetenzen="K2, K5, K6" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="8"}}
53 +
54 +Ein Funktionsterm und deren Ableitung wurde nur unvollständig gegeben. Ermittle mögliche Eintragungen für die Kästchen.
55 +Begründe, warum es mehrere Lösungen gibt.
56 +
57 +a) {{formula}}f(x)=e^{2x}\cdot\square {{/formula}}~ und~ {{formula}}f´(x)=2e^{2x}\cdot\square + 4e^{2x} {{/formula}}
58 +b) {{formula}}f(x)=\square\cdot \frac{1}{x} {{/formula}}~ und {{formula}}f´(x)= \frac{5}{2\sqrt\square}\cdot\square + \square\cdot\square {{/formula}}
59 +
60 +{{/aufgabe}}
61 +
62 +
63 +
42 42  {{aufgabe id="Ableitungsregeln entdecken und begründen" afb="III" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
43 43  Gegeben sind eine reelle Zahl //a// sowie zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} für {{formula}}i=1,2{{/formula}}.
44 44  (% class="abc" %)
... ... @@ -63,7 +63,7 @@
63 63  //Anmerkung//, insbesondere zu Teilaufgabe e). Jede differenzierbare Funktion ist //lokal// "linear", genauer: "linear approximierbar" (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von //u// gilt die Näherung {{formula}}f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u){{/formula}}. Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche erwiesenermaßen die Ableitungsregeln erfüllen.
64 64  {{/aufgabe}}
65 65  
66 -{{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
88 +{{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="III" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
67 67  Gegeben ist eine Exponentialfunktion {{formula}}f_q{{/formula}} mit {{formula}}f_q(x)=q^x{{/formula}} für //q>0//. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}f_q'{{/formula}} untersuchen und gehen dabei folgendermaßen vor.
68 68  (% class="abc" %)
69 69  1. Zeige, dass gilt: {{formula}}f_q'(x)=f_q(x)\cdot f_q'(0){{/formula}}.
... ... @@ -79,12 +79,12 @@
79 79  1. Es gelten allgemein folgende Gleichungen für die erste Ableitung: {{formula}}f_q'(x)=\ln(q)\cdot f_q(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_q'=\ln(q)\cdot f_q{{/formula}}.
80 80  {{/aufgabe}}
81 81  
82 -{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
104 +{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
83 83  Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion {{formula}}\ln{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}_+^*{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}}. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}\ln'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor.
84 84  //Implizites Differenzieren//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=e^{\ln(x)}=x{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}1=h'(x)=e^{\ln(x)}\cdot \ln'(x){{/formula}} nach {{formula}}\ln'{{/formula}} auf.
85 85  {{/aufgabe}}
86 86  
87 -{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
109 +{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="III" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
88 88  Gegeben ist eine Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^k{{/formula}}.
89 89  (% class="abc" %)
90 90  1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=0,1,2{{/formula}} mittels Definition des Differenzialquotienten.