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Änderungen von Dokument BPE 12.5 Tangente in Kurvenpunkt

Zuletzt geändert von Martina Wagner am 2025/12/11 09:38
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am 2025/10/13 10:41
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.martinstern
1 +XWiki.holgerengels
Inhalt
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1 1  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine Gleichung der Tangente in einem gegebenen Punkt eines Funktionsgraphen bestimmen
2 2  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann prüfen, ob eine gegebene Gerade Tangente an einem Funktionsgraphen ist
3 3  
4 -{{aufgabe id="Tangente Funktionsschar" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_9.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
4 +{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" zeit="10" cc="by"}}
5 +Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{5} x^3-\frac{16}{5}x{{/formula}}.
6 +(%class=abc%)
7 +1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=3{{/formula}}.
8 +1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=\frac{11}{5}x+\frac{54}{5}{{/formula}} auch Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
9 +{{/aufgabe}}
5 5  
6 -Gegeben ist für jede positive reelle Zahl {{formula}}a{{/formula}} die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f_a{{/formula}} mit {{formula}}f_a\left(x\right)=a\cdot x^2{{/formula}}. Die Abbildung zeigt den Graphen von {{formula}}f_\frac{1}{2}{{/formula}} sowie die Tangente {{formula}}t{{/formula}} an den Graphen von {{formula}}f_\frac{1}{2}{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(4\middle| f_\frac{1}{2}\left(4\right)\right){{/formula}}.
7 -[[image:Tangentefunktionsschar.png||width="150" style="float: right"]]
8 -1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an.
9 -1. Weise nach, dass für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die Tangente an den Graphen von {{formula}}f_a{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(u\middle| f_a\left(u\right)\right){{/formula}} die //y//-Achse im Punkt {{formula}}\left(0\middle|-f_a\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
10 -
11 +{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt II" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="15" tags="" cc="by"}}
12 +Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=4-\frac{1}{2} e^x{{/formula}}.
13 +(%class=abc%)
14 +1. Zeichne {{formula}}K_f{{/formula}} für {{formula}}-3\leq x\leq 3{{/formula}} in ein Koordinatensystem ein.
15 +1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} in der Nullstelle der Funktion.
16 +1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}y=4{{/formula}} keine Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
17 +1. Zeige: Alle Tangenten an {{formula}}K_f{{/formula}} haben negative Steigung.
18 +{{/aufgabe}}
11 11  
12 -
13 -
14 -
15 -
16 -
17 -
18 -__Hinweis__:
19 -Der Begriff „Schar“ beziehungsweise „Funktionsschar“ ist nicht konform zum Bildungsplan für berufliche Gymnasien in Baden-Württemberg. Deswegen wäre eine derartige Aufgabe für die Abiturprüfung an beruflichen Gymnasien nicht zulässig.
20 +{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt III" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" tags="" cc="by"}}
20 20  
21 -**Eine bildungsplankonforme Variante wäre zum Beispiel**:
22 -Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2{{/formula}}.
23 -Die Abbildung zeigt den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} sowie die Tangente {{formula}}t{{/formula}} an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(4\middle| f\left(4\right)\right){{/formula}}.
24 -[[image:Tangentefunktionsschar.png||width="150" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
22 +Eine Schülerin findet in ihren Unterlagen den nachfolgend abgebildeten Aufschrieb zu einer gelösten Aufgabe. Leider ist die dazu gehörende Aufgabenstellung verlorengegangen.
23 +Hilf der Schülerin und erstelle eine zur Lösung passende Aufgabenstellung.
24 +(%class=abc%)
25 +1. (((
26 +[[image:Kosinusfunktion.svg||width="450"]]
27 +)))
28 +1.(((
29 +{{formula}}h(x)=cos(\frac{\pi}{4}x)+1{{/formula}}
30 +{{formula}}h'(x)=\frac{\pi}{4}\cdot (-sin(\frac{\pi}{4}x))+1=-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x){{/formula}}
31 +{{formula}}h'(6)=-\frac{\pi}{4}sin(\frac{\pi}{4}\cdot 6)=\frac{\pi}{4}{{/formula}}
32 +{{formula}}h(6)=1{{/formula}}
33 +Einsetzen von {{formula}}m=\frac{\pi}{4}{{/formula}} und {{formula}}P(6|1){{/formula}}in {{formula}}y=mx+c{{/formula}} liefert {{formula}}c=1-\frac{3}{2}\pi{{/formula}}.
34 +{{formula}}t: y=\frac{\pi}{4}x+1-\frac{3}{2}\pi{{/formula}}
35 +)))
36 +1. (((
37 +{{formula}}h'(x)=m{{/formula}}
38 +{{formula}}-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x)=2{{/formula}}
39 +{{formula}}sin(\frac{\pi}{4}x)=-\frac{8}{\pi}{{/formula}}
40 +Substituiere:{{formula}}\frac{\pi}{4}x=u{{/formula}}
41 +{{formula}}sin(u)=-\frac{8}{\pi}{{/formula}}
42 +{{formula}}-\frac{8}{\pi}<-1{{/formula}}
43 +{{formula}}-\frac{8}{\pi}{{/formula}} liegt somit ausserhalb des Wertebereichs der Sinusfunktion.
44 +Deswegen hat die Gleichung keine Lösung.
45 +)))
46 +{{/aufgabe}}
25 25  
26 -1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an.
27 -1. Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} wird in //y//-Richtung gestreckt; dabei entsteht der Graph der transformierten Funktion {{formula}}g{{/formula}}.
28 -Weise nach, dass unabhängig vom Streckungsfaktor für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die an den gestreckten Graphen im Punkt {{formula}}\left(u\middle| g\left(u\right)\right){{/formula}} angelegte Tangente die //y//-Achse im Punkt {{formula}}\left(0\middle|-g\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
48 +{{aufgabe id="Polynomfunktionen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="5"}}
49 +Zeige, dass für alle Polynomfunktionen //f// der Form {{formula}}f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0{{/formula}} gilt, dass {{formula}}a_1 x + a_0{{/formula}} eine Tangente an Graphen an der Stelle //x = 0// ist.
29 29  {{/aufgabe}}
30 30  
31 -{{aufgabe id="Tangente und Berührpunkt" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_3.pdf]]" niveau="g" tags="iqb" cc="by"}}
32 -Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2{{/formula}}.
52 +{{aufgabe id="Tangente und Schnittpunkt" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_3.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
53 +Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2{{/formula}}.
33 33  Die Abbildung zeigt den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} sowie die Tangente {{formula}}t{{/formula}} an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(4\middle| f\left(4\right)\right){{/formula}}.
34 34  [[image:Tangentefunktionsschar.png||width="150" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
35 -
36 -1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an.
56 +(%class=abc%)
57 +1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangenten {{formula}}t{{/formula}} an.
37 37  1. Weise nach, dass für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die Tangente an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(u\middle| f\left(u\right)\right){{/formula}} die y-Achse im Punkt {{formula}}\left(0\middle|-f\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
38 38  {{/aufgabe}}
39 39  
40 -{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" tags="" cc="by"}}
41 -Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{5} x^3-\frac{16}{5}x{{/formula}}.
42 -
43 -1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=3{{/formula}}.
44 -1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=\frac{11}{5}x+\frac{54}{5}{{/formula}} auch Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
61 +{{aufgabe id="Funtkion gesucht" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Holger Engels" zeit="11" tags="problemlösen"}}
62 +Bestimme einen Funktionsterm, dessen Graph an der Stelle //x = 2// die Tangente {{formula}}g(x)=\frac12 x+1{{/formula}} hat.
63 +(%class=abc%)
64 +1. Nutze eine transformierte Potenzfunktion
65 +1. Nutze eine Exponentialfunktion
45 45  {{/aufgabe}}
46 46  
47 -{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt II" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" tags="" cc="by"}}
48 -Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=4-\frac{1}{2} e^x{{/formula}}.
49 -
50 -1. Zeichne {{formula}}K_f{{/formula}} für {{formula}}-3\leq x\leq 3{{/formula}} in ein Koordinatensystem ein.
51 -1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} in der Nullstelle der Funktion.
52 -1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}y=4{{/formula}} keine Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
53 -1. Zeige: Alle Tangenten an {{formula}}K_f{{/formula}} haben negative Steigung.
54 -{{/aufgabe}}
68 +{{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}
Exponentialfunktion.ggb
Author
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1 +XWiki.dirktebbe
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Exponentialfunktion.png
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1 +XWiki.martinstern
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Inhalt
Exponentialfunktion.svg
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Kosinusfunktion.svg
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1 +XWiki.dirktebbe
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