Wiki-Quellcode von Lösung Integralfunktion2
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| 1 | Am besten erhält man ein Gefühl für die Aufgabe, indem man verschiedene Funktionen zeichnet, die das Kriterium {{formula}} f'(x)>0 {{/formula}} für alle //x// verletzen. | ||
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| 4 | * Sobald es einen x-Wert mit negativer Steigung gibt, gibt es wegen der Knickfreiheit einen Bereich mit negativer Steigung und in diesem Bereich gilt: {{formula}} a<b \Rightarrow f(a)>f(b){{/formula}} , weswegen eine solche Funktion nicht streng monoton steigend sein kann. | ||
| 5 | Also kann eine streng monoton steigende Funktion keinen //x//-Wert mit negativer Steigung haben. | ||
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| 7 | * Sobald ein ganzes Intervall {{formula}} [a,b]{{/formula}} (und sei es noch so klein) zwar keine negative Steigung aber immerhin die Steigung null hat, gilt für dieses Intervall: {{formula}} a<b \Rightarrow f(a)=f(b){{/formula}} , und wieder ist die Funktion nicht streng monoton steigend. | ||
| 8 | Also kann eine streng monoton steigende Funktion keine konstanten Bereiche besitzen. | ||
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| 10 | [[image:f(x)=x^3 0,1.png ||style="float: right" width="200"]] | ||
| 11 | * Als letzte Möglichkeit bleibt eine einzelne waagrechte Stelle, umgeben von lauter //x//-Werten mit positiver Steigung. (Als Beispiel könnte man {{formula}} f(x)=x^3 {{/formula}} an der Stelle {{formula}} x=0 {{/formula}} betrachten.) | ||
| 12 | Wegen a<b muss jedoch ein (beliebig kleines) Intervall um //x// betrachtet werden. Da außer //x// alle Steigungen von f im Intervall positiv sind, folgt {{formula}} f(a)<f(b){{formula}} , und //f// bleibt streng monoton steigend. | ||
| 13 | Also darf eine streng monoton steigende Funktion eine einzelne waagrechte Stelle besitzen. | ||
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| 15 | Die Aussage ist also wahr, z. B. für {{formula}} x=0{{/formula}} bei //f// mit {{formula}} f(x)=x^3{{/formula}} . | ||
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| 17 | __Bemerkung:__ Mit derselben Argumentation darf eine streng monoton steigende Funktion beliebig viele einzelne waagrechte Stelle besitzen. | ||
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| 19 | Weitere Bemerkung:__ Man kann auch durch Aufleitung von f‘ argumentieren: Für alle a<b gilt \int_{a}^{b}{f^\prime\left(x\right)dx=f\left(b\right)-f\left(a\right)>0}, denn der Graph K von f\prime bildet in jedem Intervall [a;b] eine positiv orientierte Integralfläche, auch wenn K einzelne Nullstellen besitzt. Somit folgt f\left(b\right)>f(a). |