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Wiki-Quellcode von Lösung Integralfunktion

Version 1.1 von akukin am 2023/11/12 16:52
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1 __Erste Teilaufgabe – Begründen, weshalb jede Integralfunktion auch Stammfunktion ist:__
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3 Für jedes {{formula}}a \in \mathbb{D}{{/formula}} gilt:{{formula}} I_a (x)=\int_a^x f(x) dx = F(x)-F(a){{/formula}}. Dabei bezeichnet //F// eine beliebige Stammfunktion von //f//. Da nun //F(a)// eine reelle Zahl ist, geht der Graph von //I_a// aus dem Graph von //F// durch Verschiebung um //F(a)// nach unten hervor und ist somit ebenfalls eine Stammfunktion von //f//.
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5 __Zweite Teilaufgabe – Überprüfen: Ist auch jede Stammfunktion eine Integralfunktion?__
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7 Es gibt hier verschiedene Herangehensweisen: Man kann eine Funktion skizzieren und verschiedene Stammfunktionen und überlegen: Ist jede dieser Stammfunktionen eine Integralfunktion und falls ja, für welches //a//?
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9 Durch diese Überlegungen findet man schnell heraus: //I_a// muss bei //x = a// eine Nullstelle haben. Sobald jedoch eine Stammfunktion nicht ganz IR als Wertebereich hat (z. B. hat {{formula}}F(x) = x^2{{/formula}} den Wertebereich {{formula}}\mathbb{R_0^+}{{/formula}}), kann man sie so nach oben oder unten verschieben, dass sie keine Nullstellen besitzt.
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11 Pauls Aussage ist also falsch.
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13 Es bleibt zu überprüfen, was mit einer Funktion //f// ist, deren Stammfunktionen //F// ganz {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} als Wertemenge haben. Dann hat auch jede Stammfunktion F mindestens eine Nullstelle //a//.
14 Somit gilt für die Integralfunktion //I_a// folgende Gleichung: {{formula}}I_a (x)=F(x)-F(a)=F(x){{/formula}}.
15 Also ist jede Stammfunktion Integralfunktion.
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17 Sevdas Aussage ist falsch. Lucie hat recht.
18 (Es hängt davon ab, ob die Wertemenge einer Stammfunktion von //f// ganz {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} abdeckt.)