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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -6,6 +6,7 @@
6	6
7	7	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8	8	Die Punktprobe mit {{formula}}\left(1\middle|6\right){{/formula}} liefert den gesuchten Wert von {{formula}}a{{/formula}}:
	9	+<br>
9	9	{{formula}}f\left(x\right)=ax^3+ax^2{{/formula}}
10	10	<br>
11	11	{{formula}}f\left(1\right)=6\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a\cdot1^3+a\cdot1^2=6\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 2a=6\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a=3{{/formula}}
...	...	@@ -28,13 +28,16 @@
28	28
29	29	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
30	30	Zuerst müssen die beiden Nullstellen ermittelt werden, da diese die linken und rechten Grenzen der Fläche und damit des Integrals sind.
31		-{{formula}}f\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 3x^3+3x^2=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 3x^2\left(x+1\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=0 oder x=-1{{/formula}}
	32	+{{formula}}f\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 3x^3+3x^2=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 3x^2\left(x+1\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=0 \ \ \text{oder} \ \ x=-1{{/formula}}
	33	+<br>
32	32	(Satz vom Nullprodukt)
33	33	<br>
	36	+<br>
34	34	Zu berechnen ist also folgendes Integral:
35	35	<br>
36	36	{{formula}}\int_{-1}^{0}{f\left(x\right)\mathrm{d} x}=\int_{-1}^{0}{\left(3x^3+3x^2\right)\mathrm{d} x}=\left[\frac{3}{4}x^4+x^3\right]_{-1}^0=0-\left(\frac{3}{4}\cdot\left(-1\right)^4+\left(-1\right)^3\right)=\frac{1}{4}{{/formula}}
37	37	<br>
	41	+<br>
38	38	Folglich ist der gesuchte Flächeninhalt:
39	39	<br>
40	40	{{formula}}A=\frac{1}{4}{{/formula}}