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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,52 +1,34 @@
1		-[[image:Kirchenfenster.PNG||width="300" style="float: right"]]
	1	+[[image:Kirchenfenster.PNG||width="250" style="float: right"]]
2	2
3	3	Für den Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks und Halbkreises gilt:
4	4
5	5	{{formula}}A_{Rechteck} = x \cdot y{{/formula}}
6		-{{formula}}A_{Halbkreis} = \pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}A_{Kreis}= \pi \cdot r^2{{/formula}}
	6	+{{formula}}A_{Halbkreis} = \pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}A_{Kreis}= \pi \cdot r^2{{/formula}}
7	7	{{formula}} U_{Rechteck} = 2x+y {{/formula}}
8		-{{formula}}U_{Halbkreis} = 2\pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl) \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}U_{Kreis}=2\pi r{{/formula}}
	8	+{{formula}}U_{Halbkreis} = 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} {{formula}}U_{Kreis}=2\pi r{{/formula}}
9	9
10		-Die **Hauptbedingung** lautet
11		-{{formula}}L= x\cdot y \cdot 0,9 + \pi \cdot \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7{{/formula}}.
	10	+Die Hauptbedingung lautet
	11	+{{formula}}L= x\cdot y \cdot 0,9 + \pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7{{/formula}}.
12	12
13		-Die **Nebenbedingung** lautet
14		-{{formula}} U= 2x + y + 2\pi \bigl(\frac{1}{2}y \bigl) \cdot \frac{1}{2} = 3,5 {{/formula}}.
	13	+Die Nebenbedingung lautet
	14	+{{formula}} U= 2x + y + 2\pi \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl) \cdot \frac{1}{2} = 3,5 {{/formula}}.
15	15
16	16	Nach Umstellen der Nebenbedingung nach {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich
17	17	{{formula}}x = - \frac{1}{2}y - \frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75{{/formula}}
18	18
19		-Einsetzen von {{formula}}x{{/formula}} in die Hauptbedingung liefert nun unsere **Zielfunktion**
20		-
21		-{{formula}}
22		-\begin{align*}
23		-L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \bigl(\frac{1}{2}y \bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7\\
	19	+Einsetzen von {{formula}}x{{/formula}} in die Hauptbedingung liefert nun unsere Zielfunktion:
	20	+{{formula}}\begin{align}
	21	+L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7 \\
24	24	&=-0,45y^2-0,225\piy^2+0,0875\pi y^2+1,575y
25		-\end{align*}
	23	+\end{align}
26	26	{{/formula}}
27	27
28		-mit den ersten beiden Ableitungen
29	29	{{formula}}L'(y)= -0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
30		-{{formula}}L''(y)\approx -1,76{{/formula}}.
	27	+{{formula}}L''(y)\approx -1,76{{/formula}}
31	31
32		-Durch die notwendige Bedingung {{formula}}L'(y)=0{{/formula}} ergibt sich
	29	+{{formula}}L'(y)=0{{/formula}}
33	33	{{formula}}0=-0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
34		-und somit folgt nach Umstellen {{formula}}y\approx 0,893{{/formula}}.
35		-
36		-Nun muss noch die hinreichende Bedingung ({{formula}}L''(y) \neq 0{{/formula}}) geprüft werden:
37		-
	31	+{{formula}}y\approx 0,893{{/formula}}
38	38	{{formula}}L''(0,893)\approx -1,76 <0 \rightarrow{{/formula}} Maximum
39	39
40		-An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=]0;\frac{4}{\pi +1}]{{/formula}} erhält man
41		-{{formula}}L(0)=0{{/formula}} und {{formula}}L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698{{/formula}}.
42	42
43		-Demnach liegt bei {{formula}}y \approx 0,893{{/formula}} ein globales Maximum vor, denn {{formula}}L(0,893)\approx 0,703 > L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698{{/formula}} (und {{formula}}L(0,893)>L(0)=0{{/formula}}).
44		-
45		-Für {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich also
46		-{{formula}}x= -\frac{1}{2}\cdot 0,893- \frac{\frac{1}{2}\pi \cdot 0,893}{2}+1,75 \approx 0,60{{/formula}}
47		-
48		-Schlussendlich erhält man
49		-{{formula}}A_{Rechteck, max}=0,6 \cdot 0,893 = 0,5358{{/formula}}m^^2^^
50		-{{formula}}A_{Haklkreis, max}= \pi \cdot (\frac{1}{2}\cdot 0,893)^2\cdot \frac{1}{2} \approx 0,31{{/formula}}m^^2^^
51		-und damit
52		-{{formula}}A_{ges,max}= 0,5358{{/formula}}m^^2^^ {{formula}}+0,31{{/formula}}m^^2^^ {{formula}}=0,8458{{/formula}}m^^2^^