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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -16,19 +16,36 @@
16	16	Nach Umstellen der Nebenbedingung nach {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich
17	17	{{formula}}x = - \frac{1}{2}y - \frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75{{/formula}}
18	18
19		-Einsetzen von {{formula}}x{{/formula}} in die Hauptbedingung liefert nun unsere Zielfunktion:
20		-{{formula}}\begin{align}
21		-L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7 \\
	19	+Einsetzen von {{formula}}x{{/formula}} in die Hauptbedingung liefert nun unsere Zielfunktion
	20	+
	21	+{{formula}}
	22	+\begin{align*}
	23	+L(y) &= \Bigl(-\frac{1}{2}y-\frac{\frac{1}{2}\pi y}{2}+1,75\Bigl)\cdot y \cdot 0,9 +\pi \cdot \Bigl(\frac{1}{2}y \Bigl)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,7\\
22	22	&=-0,45y^2-0,225\piy^2+0,0875\pi y^2+1,575y
23		-\end{align}
	25	+\end{align*}
24	24	{{/formula}}
25	25
	28	+Mit den ersten beiden Ableitungen
26	26	{{formula}}L'(y)= -0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
27		-{{formula}}L''(y)\approx -1,76{{/formula}}
	30	+{{formula}}L''(y)\approx -1,76{{/formula}}.
28	28
29		-{{formula}}L'(y)=0{{/formula}}
	32	+Durch die notwendige Bedingung {{formula}}L'(y)=0{{/formula}} ergibt sich
30	30	{{formula}}0=-0,9y-0,45 \pi y+ 0,175 \pi y+ 1,575{{/formula}}
31		-{{formula}}y\approx 0,893{{/formula}}
	34	+und somit folgt nach Umstellen {{formula}}y\approx 0,893{{/formula}}.
	35	+
	36	+Nun muss noch die hinreichende Bedingung ({{formula}}L''(y) \neq 0{{/formula}}) geprüft werden:
32	32	{{formula}}L''(0,893)\approx -1,76 <0 \rightarrow{{/formula}} Maximum
33	33
	39	+An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=]0;\frac{4}{\pi +1]{{/formula}} erhält man
	40	+{{formula}}L(0)=0{{/formula}} und {{formula}}L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698{{/formula}}.
34	34
	42	+Demnach liegt bei {{formula}}y \approx 0,893{{/formula}} ein globales Maximum vor, denn {{formula}}L(0,893)\approx 0,703 > L(\frac{4}{\pi+1})\approx 0,698{{/formula}} (und L(0,893)>L(0)=0).
	43	+
	44	+Für {{formula}}x{{/formula}} ergibt sich also
	45	+{{formula}}x= -\frac{1}{2}0,893- \frac{\frac{1}{2}\pi \cdot 0,893}{2}+1,75 \approx 0,60{{/formula}}
	46	+
	47	+Schlussendlich erhält man
	48	+{{formula}}A_{Rechteck, max}=0,6 \cdot 0,893 = 0,5358{{/formula}}m^^2^^
	49	+{{formula}}A_{Hakbkreis, max}= \pi \cdot (\frac{1}{2}0,893)^2\cdot \frac{1}{2} \approx 0,31{{/formula}}m^^2^^
	50	+und damit
	51	+{{formula}}A_{ges,max}= 0,5358{{/formula}}m^^2^^ {{formula}}+0,31{{/formula}}m^^2^^ {{formula}}=0,8458{{/formula}}m^^2^^