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Änderungen von Dokument Lösung Fluß

Zuletzt geändert von akukin am 2024/02/02 18:18
Von Version 17.1
bearbeitet von akukin
am 2024/01/17 16:36
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bearbeitet von akukin
am 2024/01/17 14:24
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -4,17 +4,16 @@
4 4  Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}{{/formula}};
5 5  Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}{{/formula}}
6 6  
7 -__Gesucht:__ Wie groß muss {{formula}}x{{/formula}} sein, sodass er möglichst schnell von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}} kommt?
7 +__Gesucht:__ {{formula}}x{{/formula}}
8 8  
9 -Da der Sportler den Weg von {{formula}}D{{/formula}} zu {{formula}}C{{/formula}} 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}D{{/formula}}, lautet die **Hauptbedingung**:
10 -
9 +Da der Sportler den Weg von {{formula}}D{{/formula}} zu {{formula}}C{{/formula}} 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}D{{/formula}}, lautet die Hauptbedingung:
11 11  {{formula}}S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}{{/formula}}
12 12  
13 -Die **Nebenbedingungen** lauten:
12 +Die Nebenbedingungen lauten:
14 14  {{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+x^2}{{/formula}}
15 15  {{formula}}\overline{DC}= 1000 - x{{/formula}}
16 16  
17 -Somit lautet die **Zielfunktion**:
16 +Somit lautet die Zielfunktion:
18 18  {{formula}}S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x {{/formula}}
19 19  
20 20  mit den Ableitungen
... ... @@ -23,39 +23,14 @@
23 23  {{formula}}S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}{{/formula}}
24 24  
25 25  Durch die notwendige Bedingung {{formula}}S'(x)=0{{/formula}} ergibt sich
26 -
27 27  {{formula}}
28 28  \begin{align*}
29 -&\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1&=&\: 0 &\: \mid +1\\
30 -\Leftrightarrow &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}&=&\: 1 &\: \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\
31 -\Leftrightarrow &\: 6x &=&\: \sqrt{500^2+x^2} &\: \mid ()^2 \\
32 -\Leftrightarrow &\: 36x^2 &=&\: 500^2+x^2 &\: \mid -x^2 \\
33 -\Leftrightarrow &\: 35x^2 &=&\: 500^2 &\: \mid :35 \\
34 -\Leftrightarrow &\: x^2 &=&\: \frac{500^2}{35} &\: \mid \sqrt \\
35 -\Leftrightarrow &\: x_{1,2} &=&\: \pm \frac{100\sqrt{35}}{7} &
27 +\frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1=0 \mid +1\\
28 +\frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}= 1 \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\
29 +6x = \sqrt{500^2+x^2} \mid ()^2 \\
30 +36x^2= 500^2+x^2 \mid -x^2 \\
31 +35x^2 = 500^2 \mid :35 \\
32 +x^2 = \frac{500^2}{35} \mid \sqrt \\
33 +x_1,2 = \pm \frac{100\sqrt{35}}{7}
36 36  \end{align*}
37 37  {{/formula}}
38 -
39 -Dabei kommt nur die positive positive Lösung {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt
40 -{{formula}}S''\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow{{/formula}} **Minimum**
41 -
42 -Einsetzen in die Zielfunktion liefert
43 -
44 -{{formula}}S\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) = 6 \cdot \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}+1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 3958,04{{/formula}}.
45 -
46 -An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=[0;1000]{{/formula}} erhält man
47 -{{formula}}S(0)=4000{{/formula}} und {{formula}}S(1000)\approx 6708{{/formula}}.
48 -
49 -Demnach liegt bei {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} ein globales Minimum vor, denn {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 4000({{/formula}} (und {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 6708{{/formula}}).
50 -
51 -Nun setzt man {{formula}}x_1{{/formula}} in die NB ein:
52 -{{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}\approx 507,09 \text{m}{{/formula}}
53 -{{formula}}\overline{DC}= 1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 915,49 \text{m}{{/formula}}
54 -{{formula}}\overline{AD} + \overline{DC} 507,09 \text{m}+915,49 \text{m} = 1422,58 \text{m}{{/formula}}
55 -
56 -Für die Dauer ergibt sich jeweils
57 -{{formula}} t_{AD}= \frac{507,09 \text{m}}{50 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 10,14 \text{min}{{/formula}}
58 -{{formula}}t_{DC} = \frac{915,49 \text{m}}{300 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 3,05 \text{min} {{/formula}}
59 -
60 -Und damit insgesamt
61 -{{formula}}t_{ges}=10,14 \text{min}+3,05 \text{min} = 13,19 \text{min} \rightarrow{{/formula}} **13 min 11 sec**