Wiki-Quellcode von Lösung Lampen

Zuletzt geändert von akukin am 2024/01/18 11:21

version	line-number	content
6.1	1	* Aktuelle Menge: 1100 Stück
	2	* Aktueller Preis: 30€
	3	* Preisänderung: -1€ → +50St
4.1	4
	5	Die Hauptbedingung lautet
6.1	6	{{formula}} E = x \cdot p {{/formula}}
	7	mit {{formula}}x= \text{Menge}{{/formula}} und {{formula}}p=\text{Preis}{{/formula}}
4.1	8
	9	Die Nebenbedingungen lauten:
	10	{{formula}}x=1100+50z{{/formula}}
	11	{{formula}}p= 30-z{{/formula}}
6.1	12	Dabei ist {{formula}}z{{/formula}} die Preissenkung in €.
4.1	13
	14	Damit ist die Zielfunktion gegeben durch
	15
	16	{{formula}}E(z)=(1100+50z)(30-z)=-50z^2+400z+33000{{/formula}}
	17
	18	mit den Ableitungen
	19	{{formula}}E'(z)=-100z+400{{/formula}}
	20	{{formula}}E''(z)=-100{{/formula}}
	21
	22	Notwendige Bedingung: {{formula}}E'(z)=0{{/formula}}:
6.1	23
4.1	24	{{formula}}
	25	\begin{align*}
6.1	26	-100z+400&=0\\
	27	\Leftrightarrow z&=4
4.1	28	\end{align*}
	29	{{/formula}}
	30
	31	Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung(hinreichende Bedingung) ergibt
6.1	32	{{formula}}E''(4)=-100<0 \rightarrow{{/formula}} Maximum
4.1	33
	34
6.1	35	Es ist {{formula}}E(4)=-50\cdot 4^2+400\cdot 4+3300{{/formula}}.
4.1	36
6.1	37	An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=[0;30]{{/formula}} erhält man {{formula}}E(0)=33000{{/formula}} und {{formula}}E(30)=0{{/formula}}.
	38
4.1	39	Damit liegt bei {{formula}}z=4{{/formula}} ein globales Maximum vor.
	40
6.1	41
4.1	42	Einsetzen von {{formula}}z=4{{/formula}} in die NB:
	43	{{formula}}x= 1100+50\cdot 4 = 1300 \text{St}{{/formula}}
7.1	44	{{formula}}p=30-4 = 26{{/formula}}€.
4.1	45
	46	Die monatlichen Einnahmen sind somit bei einem Stückpeis von 26€ am höchsten.

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