BPE 16 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/18 20:31

Das Gleichungssystem

\begin{align*} \text{I} &\quad -x + y =&-3 \\ \text{II} &\quad 2x - 2y =&6 \end{align*}

mit x,y \in \mathbb{R}  hat unendlich viele Lösungen.

  1. Stelle diese Lösungen in einem Koordinatensystem grafisch dar. Gib die Lösung mit y=1 an.

Im gegebenen Gleichungssystem wird die Gleichung II durch die folgende Gleichung mit a,b \in \mathbb{R}  ersetzt:

\text{II}^* \quad a \cdot x - 3y = b

2. Gib einen Wert von a und einen Wert von b an, für die das aus \text{I} und \text{II}^* bestehende Gleichungssystem keine Lösung hat. Begründe deine Angabe.

#iqb

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Gegeben sind die Punkte A(5|-5|12), B(5|5|12) und C(-5|5|12).

  1. Zeige, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.
  2. Begründe, dass A, B und C Eckpunkte eines Quadrats sein können, und gib die Koordinaten des vierten Eckpunkts D dieses Quadrates an.

Doppelpyramide.pngIm Folgenden wird die rechts abgebildete Doppelpyramide betrachtet. Die beiden Teilpyramiden ABCDS
und ABCDTsind gleich hoch. Der Punkt T liegt im Koordinatenursprung, der Punkt Sebenfalls auf der z-Achse.

Die Seitenfläche BCT liegt in einer Ebene E.

3. Bestimme eine Gleichung von Ein Koordinatenform. (zur Kontrolle: 12y-5z = 0)
4. Bestimme die Größe des Winkels, den die Seitenfläche BCT mit der Fläche ABCD einschließt.

E gehört zur Schar der Ebenen E_k: ky-5z = 5k - 60 mit k \in \mathbb{R}.

5. Alle Ebenen der Schar schneiden sich in einer Gerade. Weise nach, dass die Kante \overline{BC} auf dieser Gerade liegt.
6. Ermittle diejenigen Werte von k, für die E_k mit der Seitenfläche ADS mindestens einen Punkt gemeinsam hat.
7. Die Seitenfläche ADT liegt in der Ebene F. Gib einen Normalenvektor von F an und begründe deine Angabe, ohne die Koordinaten von A und D zu verwenden. Bestimme denjenigen Wert von k, für den E_k senkrecht zu F steht.
8. Die Doppelpyramide wird so um die x-Achse gedreht, dass die bisher mit BCT bezeichnete Seitenfläche in der xy-Ebene liegt und der bisher mit S bezeichnete Punkt eine positive y-Koordinate hat. Bestimme diese y-Koordinate und veranschauliche dein Vorgehen durch eine Skizze.

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gleichschenkligesdreieckabb1.png
Für k \in \mathbb{R}  mit 0<k\leq 6 werden die Pyramiden ABCD_k  mit A(0|0|0), B(4|0|0), C(0|4|0) und D_k(0|0|k) betrachtet (vgl. Abbildung)
 

  1. Begründe, dass das Dreieck BCD_k gleichschenklig ist.
  2. Der Mittelpunkt der Strecke \overline{BC} ist M(2|2|0).
    Begründe, dass |\overline{MD_k}|=\left| \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ k \end{array}\right)\right| die Länge einer Höhe des Dreiecks BCD_k ist.
    Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks BCD_k.

Für jeden Wert von k liegt die Seitenfläche BCD_k in der Ebene L_k.

3. Bestimme eine Gleichung von L_k in Koordinatenform. (zur Kontrolle: x_1+x_2+\frac{4}{k}\cdot x_3 =4)
 
4. Ermittle denjenigen Wert von k, für den die Größe des Winkels, unter dem die x3-Achse die Ebene L_k schneidet, 30° beträgt.

  
gleichschenkligesdreieckabb2.png
Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der Abbildung 2 gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte A und Q(1|1|3) sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen.
Für k=6 enthält die Seitenfläche BCD_k der Pyramide den Eckpunkt Q des Quaders. Für kleinere Werte von k schneidet die Seitenfläche BCD_k den Quader in einem Vieleck.
 
5. Für einen Wert von k verläuft die Seitenfläche BCD_k durch die Eckpunkte P und R des Quaders. Bestimme diesen Wert von k   (zur Kontrolle: k=4)
 
6.Gib in Abhängigkeit von k die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks an, in dem die Seitenfläche BCD_k den Quader schneidet.
 
 
 
 
7. Nun wird die Pyramide ABCD_6 , d. h. diejenige für k=6, betrachtet.gleichschenkligesdreieckabb3.PNG Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der x1x2-Ebene, haben den Eckpunkt A gemeinsam und sind quadratisch. Die Höhe h der Quader durchläuft alle reellen Werte mit 0<h<6. Für jeden Wert von hliegt der Eckpunkt Q_h in der Seitenfläche BCD_6 der Pyramide. Ermittle die Koordinaten des Punkts Q_h.

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Gegeben sind die Punkte A\left(3\left|5\right|5\right) und B\left(1\left|1\right|1\right) sowie die Geraden g und h, die sich in B schneiden.
Die Gerade g hat den Richtungsvektor \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right), die Gerade h den Richtungsvektor \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right).

  1. Weise nach, dass A auf g liegt.
  2. Bestimme die Koordinaten zweier Punkte C und D so, dass C auf h liegt und das Viereck ABCD eine Raute ist.

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Gegeben ist die Gerade g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right) mit \lambda\in\mathbb{R}

  1. Zeige, dass g in der Ebene mit der Gleichung x+y+z=2 liegt.
  2. Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden h_a:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)+\mu \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ a \\ 0 \end{array}\right) mit \mu,a\in\mathbb{R}. Weise nach, dass g und h_a für jeden Wert von a windschief sind.

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Betrachtet wird ein Dreieck ABC mit A\left(0\left|0\right|0\right) und B\left(3\left|5\right|-4\right). Das Dreieck hat die folgenden Eigenschaften:

  • Das Dreieck ist sowohl gleichschenklig als auch rechtwinklig.
  • \overline{AB} ist eine Kathete des Dreiecks.
  • Die zweite Kathete des Dreiecks liegt in der x1x3-Ebene.

Ermittle die Koordinaten eines Punkts, der für C in Frage kommt.

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Gegeben sind die Geraden g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) und h:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+s \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right); r,s\in\mathbb{R}.

  1. Begründe, dass g und h nicht identisch sind.
  2. Die Gerade g soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade h abgebildet werden. Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere dein Vorgehen.

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Rasenfläche.JPG
Die Punkte A(0|0|0), B(18|0|1,5), C(12|10|1), D(12|15|1) und E(0|15|0) stellen modellhaft die Eckpunkte einer ebenen Rasenfläche dar (vgl. Abbildung). Die Strecken \overline{AB} und \overline{DE}, sowie \overline{AE} und \overline{CD} sind parallel. \overline{CD} und \overline{DE} schließen einen rechten Winkel ein.

Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

Die Rasenfläche wird von einem Roboter gemäht, der die Form eines flachen Zylinders hat. Zur Beschreibung der Bewegung des Roboters wird der Mittelpunkt seiner kreisförmigen Unterseite betrachtet, die einen Radius von 20 cm hat. Es soll vereinfachend davon ausgegangen werden, dass dieser Mittelpunkt die Rasenfläche berührt. Die Position des Mittelpunkts wird zunächst durch P(3,6|8|0,3) dargestellt (vgl. Abbildung). Die anschließende Bewegung des Mittelpunkts verläuft im Modell entlang der Gerade g, die durch P verläuft und den Richtungsvektor \vec{a}= \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) hat. Dabei bewegt sich der Roboter auf den durch \overline{BC} dargestellten Rand der Rasenfläche zu.

  1. Berechne die Koordinaten des Punkts Q, in dem g die Strecke \overline{BC} schneidet. (zur Kontrolle: Q(15,6|4|1,3) )
  2. Weise nach, dass der Winkel, unter dem sich der Roboter dem Rand der Rasenfläche nähert, etwa 41° groß ist.
  3. Der Roboter ändert seine Richtung, sobald der Rand seiner Unterseite den Rand der Rasenfläche erreicht. Der Punkt, der die Position des Mittelpunkts im Moment der Richtungsänderung darstellt, wird mit S bezeichnet. Berechne mithilfe einer geeigneten Skizze die Koordinaten von S.

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Gegeben ist die Schar der Ebenen E_a: \ 2ax_1-4x_2+\left(a-2\right)\cdot x_3=12 mit a\in\mathbb{R}.

  1. Ermittle denjenigen Wert von a, für den E_a parallel zur Gerade mit der Gleichung \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+b\cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) und b\in\mathbb{R} verläuft.

  2. Prüfe, ob die Ebene mit der Gleichung 6x_1-8x_2+x_3=24 zur Schar gehört.

Hinweis:
Der Begriff „Schar“ ist nicht konform zum Bildungsplan für berufliche Gymnasien in Baden-Württemberg. Deswegen wäre eine derartige Aufgabe für die Abiturprüfung an beruflichen Gymnasien nicht zulässig.
Eine bildungsplankonforme Variante wäre zum Beispiel:
Gegeben ist die Ebene E:\ \ 2ax_1-4x_2+\left(a-2\right)\cdot x_3=12 mit der festen Zahl a\in\mathbb{R}.

  1. Ermittle denjenigen Wert von a, sodass E parallel zur Gerade mit der Gleichung \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+b\cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) und b\in\mathbb{R} verläuft.

  2. Prüfe, ob es einen Wert für a gibt, für den die Ebene mit der Gleichung 6x_1-8x_2+x_3=24 identisch zu E ist.

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Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte eines Oktaeders (vgl. Abbildung). Die Eckpunkte A\left(1\left|2\right|1\right),B,C\left(-3\left|-6\right|9\right) und D des Oktaeders liegen in der Ebene H mit der Gleichung 2x_1+x_2+2x_3=6.
Oktaeder.png

  1. Weise nach, dass die Kantenlänge des Würfels 12 beträgt.

  2. Bestimme die Koordinaten einer der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in H liegen.

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Die Abbildung zeigt die Punkte A,B und P. Die Ebene, in der die drei Punkte liegen, wird durch die Zeichenebene dargestellt.

Betrachtet werden Geraden g,g^\ast und h, für die gilt:

  • g verläuft durch A, g^\ast durch B und h durch P.
  • g und g^\ast schneiden sich in P.
  • Wird g an h gespiegelt, so entsteht g^\ast.

Zeichne die Gerade g, die Gerade g^\ast und die Gerade h in die Abbildung ein.
Gib einen Term an, mit dem aus den gegebenen Punkten A,B und P der Ortsvektor eines weiteren Punktes von h bestimmt werden kann.

Geradenzeichnen.png

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Die Punkte A\left(1\left|1\right|0\right),B\left(4\left|1\right|0\right),E\left(1\left|1\right|4\right) und H\left(1\left|7\right|4\right) sind die Eckpunkte des in der Abbildung dargestellten Quaders ABCDEFGH.
Quader.PNG

  1. Gib die Koordinaten des Punktes G an.

Der Quader wird parallel zu einer Gerade so verschoben, dass sich der Schnittpunkt seiner Raumdiagonalen im Koordinatenursprung befindet.
Dabei entsteht der Quader A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime E^\prime F^\prime G^\prime H^\prime.

  1. Ermittle die Koordinaten des Punkts H^\prime.
  2. Gib einen Eckpunkt des Quaders A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime E^\prime F^\prime G^\prime H^\prime an, der nur positive Koordinaten hat.

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Gegeben sind die Punkte P\left(2\left|0\right|23\right) und Q_t\left(6\left|t\right|20\right) mit t\in\mathbb{R}.

  1. Entscheide, ob es einen Wert von t gibt, für den die Gerade PQ_t parallel zur xy-Ebene verläuft. Begründe deine Entscheidung.
  2. Der Koordinatenursprung und die Punkte P und Q_t bilden ein Dreieck. Ermittle diejenigen Werte von t, für die das Dreieck in Q_t
    einen rechten Winkel hat.

Hinweis:
Die Aufgabenstellung und insbesondere die Schreibweise Q_t ist in Baden-Württemberg eventuell nicht bildungsplankonform.

Eine auf jeden Fall bildungsplankonforme Variante:

Gegeben sind die Punkte P\left(2\left|0\right|23\right) und Q\left(6\left|t\right|20\right) mit dem festen, noch nicht bekannten Parameter t\in\mathbb{R}_+.

  1. Entscheide, ob die Gerade PQ parallel zur xy-Ebene verläuft. Begründe deine Entscheidung.
  2. Der Koordinatenursprung und die Punkte P und Q bilden ein Dreieck mit einem rechten Winkel bei Q. Ermittel den Wert von t>0.

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Betrachtet wird das Quadrat, das die folgenden Eigenschaften besitzt:

  • Das Quadrat liegt in der x1x2-Ebene.
  • Ein Eckpunkt liegt im Koordinatenursprung.
  • Der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats liegt auf der Geraden
    g: \ \vec{x}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)  mit  \lambda\in\mathbb{R}

Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts der Diagonalen und berechne den Flächeninhalt des Quadrats.

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Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

K1K2K3K4K5K6
I000000
II110110
III331333
Bearbeitungszeit gesamt: 15 min
Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst