Änderungen von Dokument Lösung Oktaeder
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Zusammenfassung
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Details
- Seiteneigenschaften
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- Inhalt
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... ... @@ -1,79 +1,26 @@ 1 -=== Teilaufgabe 1 === 2 - 3 -{{detail summary="Erwartungshorizont"}} 4 -Kantenlänge des Würfels: {{formula}}\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -4\\ -8 \\ 8 \end{array}\right)\right|=\sqrt{144}=12{{/formula}} 5 -{{/detail}} 6 - 7 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 8 -Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass die Länge der Strecke {{formula}}\overline{AC}{{/formula}} der gesuchten Kantenlänge entspricht. 9 -<br> 1 +1. (((Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass die Länge der Strecke {{formula}}\overline{AC}{{/formula}} der gesuchten Kantenlänge entspricht. 10 10 {{formula}}A\left(1\left|2\right|1\right),C\left(-3\left|-6\right|9\right){{/formula}} 11 -<br> 12 12 {{formula}}\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -3 \\ -6 \\ 9 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\right|=\left|\left(\begin{array}{c} -4\\ -8 \\ 8 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-4)^2+(-8)^2+8^2}=\sqrt{144}=12{{/formula}} 13 13 14 -<br> 15 -Also ist die Kantenlänge des Würfels {{formula}}12{{/formula}}. 16 -{{/detail}} 5 +Also ist die Kantenlänge des Würfels 12. ))) 6 +1. (((Wir gehen bis zum Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} des Quadrats {{formula}}ABCD{{/formula}}, das heißt bis zum Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}\overline{AC}{{/formula}}, und von dort aus in Richtung des Normalenvektors {{formula}}\vec{n}{{/formula}} von {{formula}}H{{/formula}}, da dieser senkrecht auf {{formula}}ABCD{{/formula}} steht. 17 17 18 - 19 -=== Teilaufgabe 2 === 20 - 21 -{{detail summary="Erwartungshorizont"}} 22 -Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Strecke {{formula}}\overline{AC}: M\left(-1\left|-2\right|5\right){{/formula}} 23 -<br> 24 -Normalenvektor von {{formula}}H: \ \vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \ \text{mit} \ \left|\vec{n}\right|=3{{/formula}} 25 -<br> 26 -Damit ergeben sich die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte, die nicht in {{formula}}H{{/formula}} liegen, zu 27 -<br> 28 -{{formula}}\overrightarrow{OM}+2\cdot\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 3\\ 0 \\ 9 \end{array}\right){{/formula}}. 29 - 30 -{{/detail}} 31 - 32 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 33 -Wir gehen bis zum Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} des Quadrats {{formula}}ABCD{{/formula}}, das heißt bis zum Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}\overline{AC}{{/formula}}, und von dort aus in Richtung des Normalenvektors {{formula}}\vec{n}{{/formula}} von {{formula}}H{{/formula}}, da dieser senkrecht auf {{formula}}ABCD{{/formula}} steht. 34 -<br> 35 -Da die Kantenlänge des Würfels {{formula}}12{{/formula}} ist (siehe Teilaufgabe 1.), müssen wir von {{formula}}M{{/formula}} aus {{formula}}6{{/formula}} Längeneinheiten in Richtung {{formula}}\vec{n}{{/formula}} gehen. 36 -<br> 8 +Da die Kantenlänge des Würfels 12 ist (siehe Teilaufgabe 1.), müssen wir von {{formula}}M{{/formula}} aus 6 Längeneinheiten in Richtung {{formula}}\vec{n}{{/formula}} gehen. 37 37 Der Normalenvektor besteht aus den Koeffizienten der Gleichung der Ebene {{formula}}H{{/formula}} in Koordinatenform: 38 -<br> 39 39 {{formula}}H:\ 2x_1+x_2+2x_3=6 \ \Rightarrow\ \vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}} 40 -<br> 41 41 Der Betrag von {{formula}}\vec{n}{{/formula}} ergibt: {{formula}}\left|\vec{n}\right|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3{{/formula}} 42 -<br> 43 -Da die Kantenlänge des Würfels {{formula}}12{{/formula}} ist und wir nur die Hälfte von {{formula}}M{{/formula}} aus nach oben gehen müssen, benötigen wir also den doppelten Normalenvektor {{formula}}2\vec{n}{{/formula}}, um von {{formula}}M{{/formula}} zum gesuchten Punkt {{formula}}P_1{{/formula}} zu gelangen: 12 +Da die Kantenlänge des Würfels 12 ist und wir nur die Hälfte von {{formula}}M{{/formula}} aus nach oben gehen müssen, benötigen wir also den doppelten Normalenvektor {{formula}}2\vec{n}{{/formula}}, um von {{formula}}M{{/formula}} zum gesuchten Punkt {{formula}}P_1{{/formula}} zu gelangen: 44 44 45 -{{formula}} 46 -\begin{align} 47 -\overrightarrow{OP_1}&=\overrightarrow{OM}+2\cdot\vec{n} =\frac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+2\cdot\vec{n} \\ 48 -&=\frac{1}{2}\cdot 49 -\left(\begin{array}{c} 1+(-3) \\ 2+(-6) \\ 1+9 \end{array}\right)+2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\ 50 -&=\frac{1}{2}\cdot 51 -\left(\begin{array}{c} -2 \\ -4 \\ 10 \end{array}\right)+2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\ 52 -&= 14 +{{formula}}\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OM}+2\cdot\vec{n}=\frac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+2\cdot\vec{n}=\frac{1}{2}\cdot 15 +\left(\begin{array}{c} 1+(-3) \\ 2+(-6) \\ 1+9 \end{array}\right)+2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)=\frac{1}{2}\cdot 16 +\left(\begin{array}{c} -2 \\ -4 \\ 10 \end{array}\right)+2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)= 53 53 \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 5 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 9 \end{array}\right) 54 -\end{align} 55 55 {{/formula}} 56 - 57 57 Einer der beiden gesuchten Punkte lautet also {{formula}}P_1\left(3\left|0\right|9\right){{/formula}}. 58 -<br> 59 59 Den anderen gesuchten Punkt (den unteren Punkt) {{formula}}P_2{{/formula}} erhält man, wenn man den doppelten Normalenvektor subtrahiert statt addiert: 60 60 61 -{{formula}} 62 -\begin{align} 63 -\overrightarrow{OP_2}&=\overrightarrow{OM}-2\cdot\vec{n} =\frac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)-2\cdot\vec{n} \\ 64 -&=\frac{1}{2}\cdot 65 -\left(\begin{array}{c} 1+(-3) \\ 2+(-6) \\ 1+9 \end{array}\right)-2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\ 66 -&=\frac{1}{2}\cdot 67 -\left(\begin{array}{c} -2 \\ -4 \\ 10 \end{array}\right)-2 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \\ 68 -&= 69 -\left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 5 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} -5 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) 70 -\end{align} 71 -{{/formula}} 72 - 73 - 74 74 Der zweite Punkt lautet also {{formula}}P_2\left(-5\left|-4\right|1\right){{/formula}}. 75 -<br> 76 -<br> 23 + 77 77 __Hinweis__: Es ist jedoch nur nach einem der beiden Punkte gefragt. 78 -{{/detail}} 79 79 26 +)))