BPE 17 Einheitsübergreifend

Aufgabe 1  Glücksrad  𝕃

Ein Glücksrad mit einem roten Gewinnbereich von einem Viertel wird so gedreht, dass es in einer völlig zufälligen Position zum Stillstand kommt. Einen Beobachter interessiert, wie groß der Abstand der Halteposition (grünes Dreieck in der Skizze) zum Gewinnbereich ist. Er misst den Abstand in Grad.

So ist der Abstand z.B. 0°, falls das Glücksrad im Gewinnbereich zum Stillstand kommt und 90°, falls es nach einem Drittel oder zwei Dritteln des Verlustbereichs zum Stillstand kommt.

Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Zeichnung den Erwartungswert dieses Abstands bei einmaliger Drehung des Glücksrads.

#problemlösen

Aufgabe 2  Tetraeder (eAN) 𝕃

Die vier Seiten eines regelmäßigen Tetraeders sind mit den Zahlen 1, 2, 3 und 4 durchnummeriert. Das Tetraeder wird fünf mal geworfen.

1. Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term  berechnet werden kann, und begründe deine Angabe.
2. Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass jede Zahl mindestens einmal erzielt wird.

#iqb

Aufgabe 3  Kugeln und Würfel (eAN) 𝕃

In einen leeren Behälter werden drei Kugeln gelegt. Dabei wird die Farbe jeder Kugel durch Werfen eines Würfels festgelegt, dessen Seiten mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind: Wird die „1“ oder die „2“ erzielt, wird eine gelbe Kugel gewählt, sonst eine schwarze.

1. Weise rechnerisch nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich nun mindestens zwei schwarze Kugeln im Behälter befinden,  beträgt.
2. Aus dem Behälter werden zwei der drei Kugeln zufällig entnommen. Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide entnommenen Kugeln schwarz sind.

#iqb

Aufgabe 4  Glücksradiqb (eAN) 𝕃

Die Sektoren des abgebildeten Glücksrads sind gleich groß und mit den Zahlen von 0 bis 9 durchnummeriert.

1. Das Glücksrad wird zwanzigmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A und B.
   A: „Es wird genau siebenmal eine ungerade Zahl erzielt.“
   B: „Es wird mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt.“
2. Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Untersuche, ob die Ereignisse C und D stochastisch unabhängig sind.
   C: „Die Summe der erzielten Zahlen ist kleiner als 4.“
   D: „Das Produkt der erzielten Zahlen ist 2 oder 3.“
3. Mit dem Glücksrad wird ein Spiel durchgeführt. Jeder Spieler darf das Glücksrad beliebig oft drehen. Beendet er das Spiel selbst, bevor er eine „0“ erzielt, so wird ihm die Summe der erzielten Zahlen in Euro ausgezahlt. Erzielt er eine „0“, so ist das Spiel dadurch beendet und es erfolgt keine Auszahlung.
   • Ein erster Spieler entscheidet sich vor dem Spiel dafür, das Glücksrad, sofern er keine „0“ erzielt, viermal zu drehen und danach das Spiel zu beenden. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er eine Auszahlung erhält.
   • Bei einem zweiten Spieler beträgt nach mehrmaligem Drehen des Glücksrads die Summe der erzielten Zahlen 60. Er möchte nun das Spiel entweder sofort beenden oder das Glücksrad genau ein weiteres Mal drehen. Berechne für den Fall, dass sich der Spieler für die weitere Drehung entscheiden sollte, den Erwartungswert für die Auszahlung. Gib eine Empfehlung ab, ob sich der Spieler für das Beenden des Spiels oder für die weitere Drehung entscheiden sollte, und begründe deine Empfehlung.
   • Wenn sich ein Spieler vor dem Spiel dafür entscheidet, das Glücksrad, sofern er keine „0“ erzielt,  -mal zu drehen, dann kann der Erwartungswert für die Auszahlung mit dem Term   berechnet werden. Beurteile die folgende Aussage:
     Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von  , für die die Erwartungswerte für die Auszahlung übereinstimmen. 
4. Betrachtet wird ein kleiner zehnseitiger Holzkörper, dessen Seiten mit den Zahlen von 0 bis 9 durchnummeriert sind.
   • Bei 80 Würfen wird zwölfmal die „0“ erzielt. Bestimmt man auf dieser Grundlage zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 95 % ein Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Wurf die „0“ zu erzielen, so ergibt sich als untere Grenze dieses Intervalls näherungsweise 0,09. Begründe, dass die obere Grenze des Konfidenzintervalls größer als 0,1 ist. Beschreibe die Bedeutung des Konfidenzintervalls im Hinblick auf die Annahme, dass beim Werfen des Holzkörpers die „0“ mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % erzielt wird.
   • Bestimme die kleinste Anzahl von Würfen, für die Folgendes gilt:
     Wenn man bei genau 15 % der Würfe die „0“ erzielt, dann steht dies bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95 % nicht in Einklang mit der Annahme, dass beim Werfen des Holzkörpers die „0“ mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % erzielt wird.

#iqb

Aufgabe 5  Urlaubsreise (eAN) 𝕃

1. Für ein Land wird die Gruppe derjenigen Personen betrachtet, die im Jahr 2022 eine Urlaubsreise unternahmen. 45% dieser Personen sind weiblich. Der Anteil derjenigen, die mit ihrer Urlaubsreise zufrieden waren, beträgt unter den weiblichen Personen 80%; der entsprechende Anteil unter den nicht weiblichen Personen wird mit  bezeichnet.
   Aus der betrachteten Gruppe wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersucht werden die folgenden Ereignisse:
   W: „Die Person ist weiblich.“
   Z:  „Die Person war mit ihrer Urlaubsreise zufrieden.“
   • Stelle den Sachzusammenhang in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. Bestimme denjenigen Wert von , für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person mit ihrer Urlaubsreise zufrieden war, 77,8% beträgt.
   • Weise nach, dass es in der betrachteten Gruppe für  = 0,7 weniger weibliche als nicht weibliche Personen geben würde, die mit ihrer Urlaubsreise zufrieden waren.
   • Gib denjenigen Wert von  an, für den W und Z stochastisch unabhängig wären, und begründe deine Angabe, ohne zu rechnen.
   • Die ausgewählte Person war mit ihrer Urlaubsreise nicht zufrieden. Begründe im Sachzusammenhang, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person weiblich ist, mit zunehmendem Wert von  zunimmt.
2. Ein großes Reiseunternehmen führt auf seinen Internetseiten ein kostenloses Gewinnspiel durch. Jede Person kann nur einmal an dem Spiel teilnehmen. Als Ergebnis des Spiels wird eine bestimmte Anzahl von Strandkörben angezeigt; diese Anzahl beträgt mindestens 1 und höchstens 5. Im Folgenden sind dazu die möglichen Gewinne beschrieben:

• Unter den teilnehmenden Personen, bei denen nur ein Strandkorb angezeigt wird, werden Sachgewinne verlost.
• Die teilnehmenden Personen mit zwei, drei, vier oder fünf Strandkörben erhalten jeweils einen Reisegutschein. Der folgenden Tabelle können die Werte der Gutscheine sowie die Wahrscheinlichkeiten für diese Gewinne entnommen werden.
  
  Bei dem Spiel beträgt der Erwartungswert des Gewinns pro Person 43,5 Cent.

1. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dem Spiel nur ein Strandkorb angezeigt wird, um weniger als ein Tausendstel von 1 abweicht. Bestimme für die Personen mit einem Strandkorb den Erwartungswert des Gewinns pro Person.
2. Es soll davon ausgegangen werden, dass 80 000 Personen an dem Spiel teilnehmen werden. Der Erwartungswert der Anzahl der Personen mit zwei Strandkörben wird mit  bezeichnet. Ermittle den kleinsten möglichen ganzzahligen Wert von , für den die Anzahl der Personen mit zwei Strandkörben mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80 % im Intervall  liegt.

#iqb

Aufgabe 6  Olivenöl (eAN) 𝕃

Ein Unternehmen stellt Olivenöl her und füllt es in Flaschen ab. Laut Aufdruck beträgt
 die Füllmenge jeder Flasche 600 ml.

1. Die Flaschen werden in Kartons verpackt; jeder Karton enthält zwölf Flaschen. Ein
    Karton gilt als fehlerhaft, wenn mehr als eine Flasche weniger als 600 ml Öl enthält. Für jede Flasche beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie weniger als 600 ml Öl enthält, 1,5 %.
   • Die Rechnung  stellt im Sachzusammenhang die Lösung einer Aufgabe dar. Formuliere eine passende Aufgabenstellung und erläutere den Ansatz der Rechnung.
   • An einen Supermarkt wird regelmäßig die gleiche Anzahl von Flaschen geliefert. Dabei enthalten im Mittel mehr als 780 Flaschen mindestens 600 ml Öl. Ermittle, wie viele Flaschen mindestens geliefert werden.
   • Ein Supermarkt erhält eine Lieferung von 150 Kartons. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 3 % der Kartons fehlerhaft sind.
2. Die Füllmenge der Flaschen soll als normalverteilt mit einem Erwartungswert von 600,5 ml und einer Standardabweichung von 0,23 ml angenommen werden.
   • Eine Flasche wird zufällig ausgewählt. Ermittle für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
     A: „Die Flasche enthält mehr als 601 ml Öl.“
     B: „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um 0,5 ml vom Erwartungswert ab.“
   • Die Füllmenge einer Flasche ist nie negativ. Die Normalverteilung, die zur Beschreibung der Füllmenge der Flaschen verwendet wird, ist jedoch auch für negative reelle Zahlen definiert und nimmt dabei ausschließlich positive Werte an. Begründe, dass die Verwendung der Normalverteilung dennoch sinnvoll ist.
   • Das Unternehmen möchte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche weniger als 600 ml Öl enthält, verringern. Für die nötige Änderung der Maschine, die die Flaschen befüllt, gibt es zwei Vorschläge:
     Vorschlag 1: Die eingestellte Füllmenge von 600,5 ml wird erhöht.
     Vorschlag 2: Die Genauigkeit, mit der die eingestellte Füllmenge von 600,5 ml erreicht wird, wird erhöht.
     Die Abbildungen 1 und 2 zeigen jeweils den Graphen der Dichtefunktion, die vor der Änderung der Maschine die Füllmenge der Flaschen beschreibt.
     
     Skizziere in der Abbildung 1 den Graphen einer Dichtefunktion, die sich aus dem Vorschlag 1 ergeben könnte, und in der Abbildung 2 den Graphen einer Dichtefunktion, die zum Vorschlag 2 passt. Begründe für jeden Vorschlag mithilfe des skizzierten Graphen, dass damit das Ziel des Unternehmens erreicht wird.
3. Jede Flasche wird mit einem Anhänger versehen. Die Anhänger gibt es mit verschiedenen Motiven. Für jede Flasche wird eines dieser Motive zufällig ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei  zufällig ausgewählten Flaschen alle Motive verschieden sind, ist kleiner als 1 %. Ermittle den kleinsten möglichen Wert von .

#iqb