Lösung Kugelbehälter
Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/21 14:23
Erwartungshorizont
\(C\): „Der zufällig ausgewählte Behälter ist Behälter C.“\(S\): „Die zufällig entnommene Kugel ist schwarz.“
Aus
\(P_S\left(C\right)=\frac{1}{5},\ \ P_C\left(S\right)=\frac{3}{w+3},\ \ P_{\overline{C}}\left(S\right)=\frac{1}{4}\)
folgt
\(P_S\left(C\right)=\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}}{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}}\)
\(P_S\left(C\right)=\frac{1}{5}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 5\cdot\frac{1}{w+3}=\frac{1}{w+3}+\frac{1}{6}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 30=6+w+3\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ w=21\)
Erläuterung der Lösung
\(C\): „Der zufällig ausgewählte Behälter ist Behälter C.“\(S\): „Die zufällig entnommene Kugel ist schwarz.“
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Behälter C gewählt wurde, wenn man schon weiß, dass eine schwarze Kugel gezogen wurde, ist laut Aufgabenstellung:\(P_S\left(C\right)=\frac{1}{5}\)Die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen, wenn der Behälter C gewählt wurde, ist:
\(P_C\left(S\right)=\frac{3}{w+3}\)
denn im Behälter C gibt es 3 schwarze Kugeln und \(w\) weiße Kugeln, also insgesamt \(w+3\) Kugeln.
Da sich sowohl in Behälter A als auch in Behälter B dreimal so viele weiße wie schwarze Kugeln befinden, ist die Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel, wenn Behälter A oder B gewählt wurde (das heißt wenn „Nicht C“ \(\overline{C}\) gewählt wurde): \(P_{\overline{C}}\left(S\right)=\frac{1}{4}\)
Generell gilt für zwei Ereignisse: \(P\left(S\right)\cdot P_S\left(C\right)=P\left(C\right)\cdot P_C\left(S\right)\)
(Beides ergibt \(P\left(C\cap S\right)\); der Baum kann ja einmal mit \(C\) und einmal mit \(S\) begonnen werden.)
Bringt man nun \(P\left(S\right)\) auf die rechte Seite
\(P_S\left(C\right)=\frac{P\left(C\right)\cdot P_C\left(S\right)}{P\left(S\right)}\)
und ersetzt \(P\left(S\right)\) durch \(P\left(C\right)\cdot P_C\left(S\right)+P\left(\overline{C}\right)\cdot P_{\overline{C}}\left(S\right)\) (denn diese zwei Pfade im Baumdiagramm ergeben tatsächlich \(P\left(S\right))\), dann erhält man
\(P_S\left(C\right)=\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}}{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{w+3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}}\)
was dem Term aus der Aufgabenstellung entspricht.
Zusätzlich ist gegeben, dass diese Wahrscheinlichkeit den Wert \(\frac{1}{5}\) annimmt. Setzen wir den obigen Term gleich \(\frac{1}{5}\), dann können wir nach der gesuchten Anzahl weißer Kugeln in Behälter C auflösen:\(P_S\left(C\right)=\frac{1}{5}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 5\cdot\frac{1}{w+3}=\frac{1}{w+3}+\frac{1}{6}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 30=6+w+3\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ w=21\)