Zum Inhalt springen

Änderungen von Dokument BPE 2 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/01/12 20:03
Von Version 110.1
bearbeitet von Martin Rathgeb
am 2025/01/05 15:03
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version
Auf Version 178.1
bearbeitet von Martin Rathgeb
am 2025/01/07 20:32
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,5 +1,86 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 +{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
4 +(% class="abc" %)
5 +1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
6 +(% class="border slim" %)
7 +| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
8 +|{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
9 +| |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
10 +
11 +)))
12 +1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
13 +1. (((//Lage//.
14 +i. Scheitel {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} mit Symmetrieachse {{formula}}g{{/formula}} der Parabel
15 +ii. x-Achsenabschnitte {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkten {{formula}}N_1, N_2{{/formula}}
16 +iii. y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
17 +)))
18 +1. (((//Kovariation//.
19 +i. Steigung {{formula}}b{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}}
20 +ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
21 +)))
22 +)))
23 +{{/aufgabe}}
24 +
25 +{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
26 +In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
27 +(% class="border slim" %)
28 +|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
29 +|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
30 +|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
31 +|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
32 +
33 +Es gelten folgende Beziehungen zwischen den Parametern, wobei
34 +
35 +\[
36 +\begin{array}{|c|l|l|l|}
37 +\hline
38 +\textbf{Nr.} & \textbf{Von} & \textbf{Zu} & \textbf{Beziehungen} \\
39 +\hline
40 +1 & \text{Scheitelform} & \text{pq-Form} & p = -2x_S, \, q = x_S^2 + y_S^* \\
41 +\hline
42 +2 & \text{pq-Form} & \text{Scheitelform} & x_S = -\frac{p}{2}, \, y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q \\
43 +\hline
44 +3 & \text{Scheitelform} & \text{Produktform} & x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}, \, x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*} \\
45 +\hline
46 +4 & \text{pq-Form} & \text{Produktform} & x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}, \, x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\
47 +\hline
48 +5 & \text{Produktform} & \text{pq-Form} & p = -(x_1 + x_2), \, q = x_1 x_2 \\
49 +\hline
50 +6 & \text{Produktform} & \text{Scheitelform} & x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}, \, y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4} \\
51 +\hline
52 +\end{array}
53 +\]
54 +
55 +//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
56 +(% class="border slim" %)
57 +|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
58 +
59 +//Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
60 +(% class="border slim" %)
61 +|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}} |{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]]
62 +|(Video 27:00)|(Video 33:11)
63 +
64 +(% class="abc" %)
65 +1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//. Folge in Vorgehen und Darstellung obigen Beispielen (dem konkreten und dem allgemeinen).
66 +1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
67 +1. {{formula}}y=x^2-14x+24{{/formula}}
68 +1. {{formula}}y=x^2-8x+13{{/formula}}
69 +1. {{formula}}y=x^2+6x-4{{/formula}}
70 +1. {{formula}}y=2x^2-4x-5 {{/formula}}
71 +1. {{formula}}y=3x^2-7x+12{{/formula}}
72 +
73 +)))
74 +1. (((Begründe, dass gilt:
75 +i. {{formula}}\frac{b}{a}=p{{/formula}} und {{formula}}\frac{c}{a}=q{{/formula}}
76 +ii. {{formula}}2x_S=x_1+x_2=-p{{/formula}} und {{formula}}x_1\cdot x_2=q{{/formula}}
77 +iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-p}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
78 +)))
79 +1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
80 +1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
81 +//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
82 +{{/aufgabe}}
83 +
3 3  {{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
4 4  Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
5 5  
... ... @@ -66,7 +66,7 @@
66 66  Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben der Verschiebung und der Streckung in Richtung einer Koordinatenachse bzw. der Spiegelung an einer Koordinatenachse gibt es eine weitere besondere Transformation, nämlich die //Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden//, das ist die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Spiegelung bewirkt den Koordinatentausch {{formula}}(x|y)\mapsto (y|x){{/formula}}, d.h., die Umkehrung {{formula}}y\mapsto x{{/formula}} der Zuordnung {{formula}}x\mapsto y{{/formula}}.
67 67  Dazu drei Beispiele: Das Spiegelbild der positiv orientierten x-Achse ({{formula}}y=0{{/formula}}, ein Funktionsgraph) ist die positiv orientierte y-Achse ({{formula}}x=0{{/formula}}, kein Funktionsgraph); das Spiegelbild der positiv orientierten y-Achse wiederum ist die positiv orientierte x-Achse; das Spiegelbild der Normalparabel ({{formula}}y=x^2{{/formula}}, ein Funktionsgraph) sind die beiden Wurzeläste ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}) zusammengenommen (kein Funktionsgraph). Betrachten wir das dritte Beispiel genauer: Um aus der Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} rechnerisch die Gleichung {{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}} zu ermitteln, löst man zunächst die Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} nach {{formula}}x{{/formula}} auf und tauscht dann in der erhaltenen Gleichung {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}} noch die Variablen gegeneinander aus ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}).
68 68  
69 -Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Graphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
150 +Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Funktionsgraphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
70 70  [[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
71 71  
72 72  (% class="abc" %)
Po-ShenLoh_Quadratic.png
Author
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +XWiki.martinrathgeb
Größe
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +98.4 KB
Inhalt
Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png
Author
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +XWiki.martinrathgeb
Größe
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +828.1 KB
Inhalt
Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png
Author
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +XWiki.martinrathgeb
Größe
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +612.4 KB
Inhalt