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Seiteneigenschaften

Inhalt

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1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
	3	+{{aufgabe id="Po-Shen Loh" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
	4	+//Verfahren statt Formel// (Teil 1). Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
	5	+(% class="border slim" %)
	6	+|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
	7	+
	8	+//Verfahren statt Formel// (Teil 2). In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er die Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen vor.
	9	+(% class="border slim" %)
	10	+|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]]
4	4	(% class="abc" %)
5		-1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
	12	+1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) die Produktform der Funktionsgleichung.
	13	+1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
	14	+1. {{formula}}f(x)=x^2-14x+22{{/formula}}
	15	+1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
	16	+1. {{formula}}f(x)=x^2-8x+13{{/formula}}
	17	+1. {{formula}}f(x)=x^2+6x-4{{/formula}}
	18	+1. {{formula}}f(x)=2x^2-4x-5 {{/formula}}
	19	+
	20	+)))
	21	+1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
	22	+//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
	23	+{{/aufgabe}}
	24	+
	25	+{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
	26	+IN PROGRESS
	27	+(% class="abc" %)
	28	+1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Geraden die Lücken.
6	6	(% class="border slim" %)
7		-| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
8		-|{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
9		-| |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
	30	+| |{{formula}}y=\square 3\cdot (x-1)+\square{{/formula}} |
	31	+|{{formula}}y=\square \cdot (x-2){{/formula}} |Graph: fallende Gerade in KoorSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square \cdot x+\square{{/formula}}
	32	+| |{{formula}}\frac{x}{\square}+\frac{y}{\square}=1{{/formula}} |
10	10
11	11	)))
12		-1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
	35	+1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Geraden:
13	13	1. (((//Lage//.
14		-i. Scheitel {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} mit Symmetrieachse {{formula}}g{{/formula}} der Parabel
15		-ii. x-Achsenabschnitte {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkten {{formula}}N_1, N_2{{/formula}}
16		-iii. y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
	37	+i) y-Achsenabschnitt {{formula}}b{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
	38	+ii) x-Achsenabschnitt {{formula}}x_0{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_x=N{{/formula}}
17	17	)))
18	18	1. (((//Kovariation//.
19		-i. Steigung {{formula}}b{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}}
	41	+i. Steigung {{formula}}m{{/formula}}
20	20	ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
21	21	)))
22	22	)))
23	23	{{/aufgabe}}
24	24
25		-{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
	47	+{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
	48	+IN PROGRESS
26	26	In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
27		-(% class="border" %)
28		-|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
	50	+(% class="border slim" %)
29	29	|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
	52	+|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
30	30	|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
31	31	|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
32	32
33	33	(% class="abc" %)
34		-1. //Formeln entdecken//. Untersuche die Gleichungsformen im Hinblick auf Gemeinsamkeiten, Unterschiede und Zusammenhänge; instruktiv ist der //Koeffizientenvergleich// mit der "Gestreckten Normalform".
35		-Folgende Tabelle gibt einen Überblick über Beziehungen zwischen den Parametern, wobei die Kurz-Bezeichnung {{formula}}}y_S^*=\frac{y_S^*}{a}{{/formula}} verwendet wurde.
36		-(% class="border" %)
37		-|Nr. |Von |Zu |Beziehungen
38		-|1 |Scheitelform |pq-Form |{{formula}}p = -2x_S, \, q = x_S^2 + y_S^*{{/formula}}
39		-|2 |pq-Form |Scheitelform |{{formula}}x_S = -\frac{p}{2}, \, y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q{{/formula}}
40		-|3 |Scheitelform |Produktform |{{formula}}x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}, \, x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}{{/formula}}
41		-|4 |pq-Form |Produktform |{{formula}}x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}, \, x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}}
42		-|5 |Produktform |pq-Form |{{formula}}p = -(x_1 + x_2), \, q = x_1 x_2{{/formula}}
43		-|6 |Produktform |Scheitelform |{{formula}}x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}, \, y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}{{/formula}}
44		-1. //Formeln anwenden//. Ergänze die Leerstellen in folgender Tabelle.
45		-(% class="border" %)
46		-|Nr. |Hauptform |Scheitelform |Produktform
47		-|1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} | |
48		-|2 | |{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} |
49		-|3 | | |{{formula}}y = (x + 2)(x + 2){{/formula}}
50		-|4 |{{formula}}y = -(x^2 - 4x + 1){{/formula}} | |
51		-|5 | |{{formula}}y = -\pi(x - \pi)^2{{/formula}} |
52		-|6 | | |{{formula}}y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2}){{/formula}}
53		-|7 |{{formula}}y = 2(x^2 + 2x + 5){{/formula}} | |
54		-|8 | |{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} |
55		-|9 | | |{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}}
56		-1. //Formeln begründen//. Zeige die Beziehungen zwischen den Parametern; vgl. obige Tabelle.
	57	+1. (((Ermittle für jede Gleichungsform {{formula}}\ldots{{/formula}}
	58	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die beiden //Winkelhalbierenden// (besondere Geraden) darstellen lassen.
	59	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die //Parallelen zu den Koordinatenachsen// (Typen besonderer Geraden) darstellen lassen.
	60	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, welche Werte charakteristischer Größen von {{formula}}g{{/formula}} sich direkt ablesen lassen; vgl. dazu vorausgegangenes Arithmagon.
	61	+
	62	+)))
	63	+1. (((Erläutere, inwiefern {{formula}}\ldots{{/formula}}
	64	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}} die //Hauptform// und die //Produktform// zwei Spezialfälle der //Punkt-Steigungs-Form// sind.
	65	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}} nur die //Allgemeine Form// diese Bezeichnung mit Recht trägt; vgl. dazu a).
	66	+
	67	+)))
	68	+1. Berechne aus den Parametern {{formula}}x_0, y_0{{/formula}} der Achsenabschnittsform die Steigung {{formula}}m{{/formula}}.
57	57	{{/aufgabe}}
58	58
	71	+
59	59	{{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
60	60	Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
61	61