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Änderungen von Dokument BPE 2 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/01/12 20:03
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,70 +1,9 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
4 -(% class="abc" %)
5 -1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
6 -(% class="border slim" %)
7 -| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
8 -|{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
9 -| |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
10 -
11 -)))
12 -1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
13 -1. (((//Lage//.
14 -i. Scheitel {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} mit Symmetrieachse {{formula}}g{{/formula}} der Parabel
15 -ii. x-Achsenabschnitte {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkten {{formula}}N_1, N_2{{/formula}}
16 -iii. y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
17 -)))
18 -1. (((//Kovariation//.
19 -i. Steigung {{formula}}b{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}}
20 -ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
21 -)))
22 -)))
23 -{{/aufgabe}}
24 -
25 -{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
26 -In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
27 -(% class="border" %)
28 -|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
29 -|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
30 -|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
31 -|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
32 -
33 -(% class="abc" %)
34 -1. //Formen untersuchen//. Bestimme für jede Gleichungsform, welche charakteristischen Größen der Parabel sich direkt ablesen lassen; siehe hierzu das vorausgegangene Arithmagon.
35 -1. //Formeln entdecken//. Untersuche die Gleichungsformen im Hinblick auf Zusammenhänge; instruktiv ist der //Koeffizientenvergleich// mit der "Gestreckten Normalform".
36 -1. (((//Formeln begründen//. Folgende Tabelle gibt einen Überblick über Beziehungen zwischen den Parametern, wobei die Kurz-Bezeichnung {{formula}}}y_S^*=\frac{y_S}{a}{{/formula}} verwendet wurde.
37 -1. Welche Beziehungen lassen sich anhand der Gleichungsformen schnell begründen?
38 -1. Welche Zusammenhänge zwischen Beziehungen lassen sich schnell begründen?
39 -
40 -)))
41 -(% class="border" %)
42 -|Nr. |Von |Zu |Beziehungen
43 -|1 |Scheitelform |pq-Form |{{formula}}p = -2x_S, \, q = x_S^2 + y_S^*{{/formula}}
44 -|2 |pq-Form |Scheitelform |{{formula}}x_S = -\frac{p}{2}, \, y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q{{/formula}}
45 -|3 |Scheitelform |Produktform |{{formula}}x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}, \, x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}{{/formula}}
46 -|4 |pq-Form |Produktform |{{formula}}x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}, \, x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}}
47 -|5 |Produktform |pq-Form |{{formula}}p = -(x_1 + x_2), \, q = x_1 x_2{{/formula}}
48 -|6 |Produktform |Scheitelform |{{formula}}x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}, \, y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}{{/formula}}
49 -1. //Formeln anwenden//. Ergänze die Leerstellen in folgender Tabelle.
50 -(% class="border" %)
51 -|Nr. |Hauptform |Scheitelform |Produktform
52 -|1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} | |
53 -|2 | |{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} |
54 -|3 | | |{{formula}}y = (x + 2)(x + 2){{/formula}}
55 -|4 |{{formula}}y = -(x^2 - 4x + 1){{/formula}} | |
56 -|5 | |{{formula}}y = -\pi(x - \pi)^2{{/formula}} |
57 -|6 | | |{{formula}}y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2}){{/formula}}
58 -|7 |{{formula}}y = 2(x^2 + 2x + 5){{/formula}} | |
59 -|8 | |{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} |
60 -|9 | | |{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}}
61 -1. //Formeln begründen//. Zeige die Beziehungen zwischen den Parametern; vgl. obige Tabelle.
62 -{{/aufgabe}}
63 -
64 64  {{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
65 65  Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
66 66  
67 -(% class="abc" %)
6 +(% style="list-style: alphastyle" %)
68 68  1. Erstelle die Funktion {{formula}}t{{/formula}}, die die benötigte Zeit in Minuten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/h beschreibt.
69 69  1. Bestimme die Definitionslücke der Funktion {{formula}}t{{/formula}}.
70 70  1. Erläutere, warum es in diesem Kontext sinnvoll ist, eine Definitionslücke zu haben.
... ... @@ -74,7 +74,7 @@
74 74  {{aufgabe id="Potenzgleichungen lösen - graphisch und rechnerisch" afb="II" zeit="15" kompetenzen="K4,K5" quelle="Martin Stern, Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}
75 75  Gegeben sind die Funktionen //f// und //g// mit den Funktionsgleichungen {{formula}}f(x)=\sqrt{-x+1}{{/formula}} und {{formula}} g(x)=-\sqrt{x+5}+3 {{/formula}}.
76 76  
77 -(% class="abc" %)
16 +(% style="list-style: alphastyle" %)
78 78  1. Gib jeweils die maximale Defintionsmenge und den zugehörigen Wertebereich an.
79 79  1. Zeichne die Funktionsgraphen zu den Funktionen in ein gemeinsammes Koordinatensystem im Intervall {{formula}}[-6; +2]{{/formula}}.
80 80  1. Bestimme die Lösungen der Wurzelgleichung {{formula}}f(x) = g(x){{/formula}} graphisch.
... ... @@ -88,7 +88,7 @@
88 88  |=Zeit|2|4|6|8|10|12|
89 89  |=Menge|1,7|1,5|1,2|1,0|1,0|0,8|
90 90  
91 -(% class="abc" %)
30 +(% style="list-style: alphastyle" %)
92 92  1. Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners eine Ausgleichsgerade für die gegebenen Messwerte. Notiere auch den Korrelationskoeffizienten r.
93 93  1. Berechne mit Hilfe deiner Ausgleichsgeraden einen Näherungswert zum Zeitpunkt 7 Stunden nach dem Messbeginn.
94 94  {{/aufgabe}}
... ... @@ -100,9 +100,8 @@
100 100  |=Anzahl der Storchenpaare|132|142|166|188|240|250|252
101 101  |=Anzahl der Einwohner|55400|55400|65000|67700|69800|72300|76000
102 102  
103 -(% class="abc" %)
104 -1. Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten.
105 -1. Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein.
42 +a) Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten.
43 +b) Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein.
106 106  {{/aufgabe}}
107 107  
108 108  {{aufgabe id="Füllstände" afb="III" zeit="25" kompetenzen="K2, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -125,16 +125,17 @@
125 125  
126 126  {{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Martin Rathgeb" zeit="12" cc="BY-SA"}}
127 127  Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben der Verschiebung und der Streckung in Richtung einer Koordinatenachse bzw. der Spiegelung an einer Koordinatenachse gibt es eine weitere besondere Transformation, nämlich die //Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden//, das ist die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Spiegelung bewirkt den Koordinatentausch {{formula}}(x|y)\mapsto (y|x){{/formula}}, d.h., die Umkehrung {{formula}}y\mapsto x{{/formula}} der Zuordnung {{formula}}x\mapsto y{{/formula}}.
128 -Dazu drei Beispiele: Das Spiegelbild der positiv orientierten x-Achse ({{formula}}y=0{{/formula}}, ein Funktionsgraph) ist die positiv orientierte y-Achse ({{formula}}x=0{{/formula}}, kein Funktionsgraph); das Spiegelbild der positiv orientierten y-Achse wiederum ist die positiv orientierte x-Achse; das Spiegelbild der Normalparabel ({{formula}}y=x^2{{/formula}}, ein Funktionsgraph) sind die beiden Wurzeläste ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}) zusammengenommen (kein Funktionsgraph). Betrachten wir das dritte Beispiel genauer: Um aus der Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} rechnerisch die Gleichung {{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}} zu ermitteln, löst man zunächst die Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} nach {{formula}}x{{/formula}} auf und tauscht dann in der erhaltenen Gleichung {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}} noch die Variablen gegeneinander aus ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}).
129 129  
130 -Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Funktionsgraphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
131 -[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
67 +Betrachten wir dafür zunächst ein Beispiel, nämlich die Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}}. Um daraus die Gleichung für die Umkehrung rechnerisch zu ermitteln, löst man nach //x// auf, d.h.: {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}}.
68 +Vertausche //x// und //y// miteinander um die Gleichung der Umkehrung zu erhalten.
132 132  
70 +Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Graphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
71 +[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
133 133  (% class="abc" %)
134 -1. Löse die Gleichungen jeweils nach {{formula}}x{{/formula}} auf; du erhältst damit für {{formula}}x{{/formula}} einen Funktionsterm {{formula}}x(y){{/formula}} in {{formula}}y{{/formula}}.
135 -1. Führe in den in a) berechneten Termen {{formula}}x(y){{/formula}} den Variablentausch durch, zeichne die Graphen der Umkehrungen zusätzlich ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie die Paare von Graphen zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
136 -1. Die in a) berechneten Terme {{formula}}x(y){{/formula}} sind insbesondere in Monotonieintervallen von {{formula}}f{{/formula}} Funktionsterme von Umkehrfunktionen {{formula}}f^{-1}{{/formula}}. Untersuche die Ausdrücke {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, indem du {{formula}}f(x){{/formula}} für {{formula}}y{{/formula}} einsetzt, und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
137 -1. Abschließend stellt sich die Frage: Weshalb der Definitionsbereich der Funktionen {{formula}}f{{/formula}} (z.B. auf ein Monotonieintervall) verkleinert werden muss, um eine Umkehrfunktion zu erhalten? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
73 +1. Löse die Gleichung jeweils nach //x// auf; du erhältst damit für //x// einen Funktionsterm in //y//.
74 +1. Zeichne die Graphen der Umkehrungen ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie sie zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
75 +1. Die in a) berechneten Terme sind die Funktionsterme der Umkehrfunktionen ({{formula}}f^{-1}{{/formula}}) der Funktionen {{formula}}f{{/formula}}. Untersuche jeweils den Ausdruck {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, in dem du {{formula}}f(x){{/formula}} für //y// einsetzt und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
76 +1. Abschließend stellt sich die Frage: Warum muss der Definitionsbereich der Funktion //f// verkleinert werden, wenn die Umkehrfunktion berechnet wird? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
138 138  {{/aufgabe}}
139 139  
140 140  {{matrix/}}
Po-ShenLoh_Quadratic.png
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.martinrathgeb
Größe
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -98.4 KB
Inhalt
Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.martinrathgeb
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... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -828.1 KB
Inhalt
Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.martinrathgeb
Größe
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -612.4 KB
Inhalt