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Zusammenfassung
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Details
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- Dokument-Autor
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... ... @@ -1,1 +1,1 @@ 1 -XWiki. holgerengels1 +XWiki.martinrathgeb - Inhalt
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... ... @@ -3,7 +3,11 @@ 3 3 {{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}} 4 4 (% class="abc" %) 5 5 1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken. 6 -[[image:Arithmagon Potenzfunktionen Formen.svg||width="500"]] 6 +(% class="border slim" %) 7 +| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} | 8 +|{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}} 9 +| |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} | 10 + 7 7 ))) 8 8 1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel: 9 9 1. (((//Lage//. ... ... @@ -19,40 +19,45 @@ 19 19 {{/aufgabe}} 20 20 21 21 {{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}} 22 - (((In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.26 +In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3. 23 23 (% class="border" %) 24 24 |Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}} 25 25 |Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}} 26 26 |Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}} 27 27 |Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}} 28 -))) 29 -(% class="abc" %) 30 -1. //Formen untersuchen//. Bestimme für jede Gleichungsform, welche charakteristischen Größen der Parabel sich direkt ablesen lassen; siehe hierzu das vorausgegangene Arithmagon. 31 -1. //Formeln entdecken//. Untersuche die Gleichungsformen im Hinblick auf Zusammenhänge; instruktiv ist der //Koeffizientenvergleich// mit der "Gestreckten Normalform". 32 -1. (((//Formeln untersuchen//. Folgende Tabelle gibt einen Überblick über Beziehungen zwischen den Parametern, wobei die Kurz-Bezeichnung {{formula}}}y_S^*=\frac{y_S}{a}{{/formula}} verwendet wurde. Welche Zusammenhänge zwischen den tabellierten Beziehungen lassen sich schnell erkennen? 32 + 33 +Es gelten folgende Beziehungen zwischen den Parametern, wobei der übersichtlicheren Notation wegen die Bezeichnung {{formula}}}y_S^*=\frac{y_S^*}{a}{{/formula}} verwendet wurde. 34 + 33 33 (% class="border" %) 34 -|Nr. |Von |Zu |Parameter 1 |Parameter 2 35 -|1 |Scheitelform |pq-Form |{{formula}}p = -2x_S{{/formula}} |{{formula}}q = x_S^2 + y_S^*{{/formula}} 36 -|2 |pq-Form |Scheitelform |{{formula}}x_S = -\frac{p}{2}{{/formula}} |{{formula}}y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q{{/formula}} 37 -|3 |Scheitelform |Produktform |{{formula}}x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}{{/formula}} |{{formula}}x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}{{/formula}} 38 -|4 |pq-Form |Produktform |{{formula}}x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}} |{{formula}}x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}} 39 -|5 |Produktform |pq-Form |{{formula}}p = -(x_1 + x_2){{/formula}} |{{formula}}q = x_1 x_2{{/formula}} 40 -|6 |Produktform |Scheitelform |{{formula}}x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}{{/formula}} |{{formula}}y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}{{/formula}} 41 -))) 42 -1. (((//Formeln anwenden//. Ergänze die Leerstellen in folgender Tabelle. 43 -(% class="border" %) 36 +|Nr. |Von |Zu |Beziehungen 37 +|1 |Scheitelform |pq-Form |{{formula}}p = -2x_S, \, q = x_S^2 + y_S^*{{/formula}} 38 +|2 |pq-Form |Scheitelform |{{formula}}x_S = -\frac{p}{2}, \, y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q{{/formula}} 39 +|3 |Scheitelform |Produktform |{{formula}}x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}, \, x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}{{/formula}} 40 +|4 |pq-Form |Produktform |{{formula}}x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}, \, x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}} 41 +|5 |Produktform |pq-Form |{{formula}}p = -(x_1 + x_2), \, q = x_1 x_2{{/formula}} 42 +|6 |Produktform |Scheitelform |{{formula}}x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}, \, y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}{{/formula}} 43 + 44 +(% class="abc" %) 45 +1. Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//. Folge in Vorgehen und Darstellung obigen Beispielen (dem konkreten und dem allgemeinen). 46 +(% class="border slim" %) 44 44 |Nr. |Hauptform |Scheitelform |Produktform 45 -|1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} | | 46 -|2 | |{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} | 48 +|1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} | | 49 +|2 | |{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} | 47 47 |3 | | |{{formula}}y = (x + 2)(x + 2){{/formula}} 48 -|4 |{{formula}}y = -(x^2 - 4x + 1){{/formula}} | | 49 -|5 | |{{formula}}y = -\pi(x - \pi)^2{{/formula}} | 50 -|6 | | |{{formula}}y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2}){{/formula}} 51 -|7 |{{formula}}y = 2(x^2 + 2x + 5){{/formula}} | | 52 -|8 | |{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} | 53 -|9 | | |{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}} 51 +|4 |{{formula}}y = 2x^2 - 8x + 6{{/formula}} | | 52 +|5 | |{{formula}}y = (x + 3)^2 - 9{{/formula}} | 53 +|6 | | |{{formula}}y = (x - 4)(x - 2){{/formula}} 54 +|7 |{{formula}}y = x^2 + 2x + 5{{/formula}} | | 55 +|8 | |{{formula}}y = (x - 2)^2{{/formula}} | 56 +|9 | | |{{formula}}y = (x - 2)(x - 3){{/formula}} 57 +1. (((Begründe, dass gilt: 58 +i. {{formula}}\frac{b}{a}=p{{/formula}} und {{formula}}\frac{c}{a}=q{{/formula}} 59 +ii. {{formula}}2x_S=x_1+x_2=-p{{/formula}} und {{formula}}x_1\cdot x_2=q{{/formula}} 60 +iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-p}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}} 54 54 ))) 55 -1. //Formeln begründen//. Zeige einige der oben tabellierten Beziehungen zwischen den Parametern. 62 +1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen. 63 +1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert. 64 +//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet. 56 56 {{/aufgabe}} 57 57 58 58 {{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
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