Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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1		-**Aufgabenstellung:**
2		-Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
3		-
4		-**Lösungsschritte:**
	1	+**Die drei Verfahren: tabellarisch, graphisch, rechnerisch**
5	5	(% class="abc" %)
6		-1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 1).//
	3	+1. \textbf{Tabellarisch:} Erstellen wir eine Wertetabelle für ganzzahlige Werte von //x// zwischen –3 und 5:
7	7
8		-**Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):**
9		-(% class="border slim" %)
10		-|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
11		-|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}
	5	+| x | f(x) |
	6	+|-----|------------------|
	7	+| –3 | –66 |
	8	+| –2 | –38 |
	9	+| –1 | –18 |
	10	+| 0 | 12 |
	11	+| 1 | 6 |
	12	+| 2 | –4 |
	13	+| 3 | 0 |
	14	+| 4 | 4 |
	15	+| 5 | 2 |
12	12
13		-**Interpretation:**
14		-Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.
	17	+Einerseits gilt {{formula}}f(3)=0{{/formula}}; andererseits zeigen sich zwei Vorzeichenwechsel: Für {{formula}}x{{/formula}} zwischen –1 und 0 wird {{formula}}f(x){{/formula}} positiv, für {{formula}}x{{/formula}} zwischen 1 und 2 wird {{formula}}f(x){{/formula}} negativ.
	18	+Das deutet auf drei Nullstellen und zwei Teilbereiche mit {{formula}}f(x)\le 0{{/formula}} hin.
15	15
16		-2. //Tabellarisches Verfahren (Teil 2).//
	20	+1. \textbf{Graphisch:} \\
	21	+Die Funktion ist ein Polynom dritten Grades mit positivem Leitkoeffizienten, d.h. sie fällt im linken Randbereich, erreicht ein lokales Minimum, steigt wieder an. Der Graph schneidet die x-Achse dreimal. Die Bereiche unterhalb der x-Achse lassen sich am Graphen ablesen und entsprechen den Abschnitten zwischen zwei Nullstellen. Visuell ergibt sich eine Lösungsmenge in zwei Intervallen.
17	17
18		-**Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):**
19		-(% class="border slim" %)
20		-|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|
21		-|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|
	23	+1. \textbf{Rechnerisch:} \\
	24	+Wir bestimmen die Nullstellen durch Faktorisierung:
22	22
23		-**Interpretation:**
24		-i) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x{{/formula}} kleiner -2, für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen -1 und +1 und für alle {{formula}}x{{/formula}} größer +2.
25		-ii) Entsprechend gilt {{formula}}f(x)<0{{/formula}} für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen -1,5 und -1 und für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen +1 und +1,5.
26		-iii) Hingegen liegt in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}}, denn für beide Intervalle gilt: An den Rändern hat {{formula}}f(x){{\formula}} unterschiedliche Vorzeichen.
	26	+Zunächst findet man durch Probieren (z. B. mit dem Horner-Schema) eine Nullstelle bei
27	27
28		-3. **Graphische Skizze:**
	28	+{{formula}}x = 2.{{/formula}}
29	29
30		-Die Funktion ist **geraden Grades** (4) mit **positivem Leitkoeffizienten** (1). Daraus folgt:
31		-- {{formula}}\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = +\infty{{/formula}}
32		-- Die Funktion ist **achsensymmetrisch**, da alle Potenzen gerade sind.
33		-- Die vorherige Tabelle zeigt, dass der Graph in der Nähe von {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} die x-Achse berührt und dazwischen negativ wird.
	30	+Polynomdivision von //f(x)// durch //x – 2// ergibt:
34	34
35		-**Lage zur x-Achse:**
36		-- Nullstellen: {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
37		-- Graph liegt **oberhalb der x-Achse** für:
38		- - {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
39		- - {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
40		- - {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
	32	+{{formula}}f(x) = (x - 2)(x^2 - x - 6) = (x - 2)(x - 3)(x + 2).{{/formula}}
41	41
42		----
	34	+Nullstellen:
43	43
44		-4. **Rechnerisches Verfahren:**
	36	+{{formula}}x = -2,\quad x = 2,\quad x = 3.{{/formula}}
45	45
46		-Faktorisieren:
	38	+Die Funktion ist als Produkt von drei Linearfaktoren geschrieben. Da der Leitkoeffizient positiv ist, ergibt sich folgender Vorzeichenverlauf (von links nach rechts, d.h. auf der x-Achse betrachtet):
47	47
48		-{{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}){{/formula}}
	40	+| Intervall | Vorzeichen von f(x) |
	41	+|-------------------|---------------------|
	42	+| //x < –2// | positiv |
	43	+| //–2 < x < 2// | negativ |
	44	+| //2 < x < 3// | negativ |
	45	+| //x > 3// | positiv |
49	49
50		-**Nullstellen:**
	47	+Daraus folgt:
51	51
52		-{{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
	49	+**Lösungsmenge:**
53	53
54		-**Vorzeichenanalyse:**
	51	+{{formula}}\mathrm{L} = [-2,\ 2] \cup \{3\}{{/formula}}
55	55
56		-| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
57		-|----------------------------------|----------|---------------------------------------------|
58		-| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
59		-| {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
60		-| {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
61		-| {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
62		-| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
	53	+(da die Ungleichung //f(x) \le 0// lautet, gehören die Nullstellen zur Lösung dazu).
63	63
64		-**Gesuchte Lösung:**
65		-{{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für
	55	+**Zusammenfassung:**
66	66
67		-**L** = {{formula}}(-\infty,\ -\sqrt{3}) \cup (-1,\ 1) \cup (\sqrt{3},\ \infty){{/formula}}
	57	+Das tabellarische Verfahren ermöglicht einen ersten Eindruck der Vorzeichenwechsel und motiviert die Erwartung dreier Nullstellen. Die graphische Lösung verdeutlicht das Verhalten des Graphen und visualisiert die gesuchte Lösungsmenge. Die rechnerische Lösung liefert schließlich eine exakte Beschreibung der Intervallstruktur.
68	68
69		----
70		-
71		-5. **Vergleich der Verfahren:**
72		-
73		-- Das **tabellarische Verfahren** gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
74		-- Das **graphische Verfahren** bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
75		-- Das **rechnerische Verfahren** liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.
76		-
77		-**Didaktisch:**
78		-Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:
79		-Vom **konkreten Probieren (Tabelle)** über das **visuelle Erfassen (Graph)** hin zum **symbolischen Durchdringen (Rechnung)**. Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.
80		-
81		-{{/loesung}}
82		-
83		----
84		-
85		-**Zusammenfassung:**
86		-- Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
87		-- Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
88		-- Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
89		-
90		-{{/loesung}}
91		-