BPE 4.5 Logarithmus und Exponentialgleichungen

{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}

25

Nenne jeweils eine passende Gleichung:

26

27

Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich{{formula}} \ldots {{/formula}}

28

(% class="abc" %)

29

1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.

30

1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.

31

1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.

32

33

34

{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}

35

Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:

36

{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}

37

38

39

{{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}

40

Ordne zu:

41

(% class="border slim " %)

42

|Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder

43

|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((

44

|x|0|1|2|3

45

|y|1|2|4|8

46

)))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]

47

|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((

48

|x|0|1|2|3

49

|y|0|1|8|27

50

)))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]

51

|{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((

52

|x|0|1|2|3

53

|y|1|\frac{1}{2}|8|27

54

)))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]

55

|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}} |(((

56

|x|0|1|2|3

57

|y|0|1|8|27

58

)))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]

{{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}

64

Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.

65

66

[[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]

67

68

(% class="abc" %)

69

1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}

70

1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}

71

1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}

72

1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}

73

1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}

74

1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}

75

1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}

76

1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}

77

1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}

78

79

80

{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}

81

(% class="abc" %)

82

Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} 2^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.

83

84

85

{{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}

86

(% class="abc" %)

87

Aufgabe als Dokument im Anhang ‚unten‘.

{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}

92

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:

93

94

(% class="border slim " %)

95

|Typ 1 Umkehroperationen|Typ 2 Ausklammern|Typ 3 Substitution

96

|{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}

97

|{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2x}+x^e+1 = 0{{/formula}}

98

|{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}

99

|{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}

100

101

102

Nenne eine passende Gleichung. Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich {{formula}} \ldots {{/formula}}

103

(% class="abc" %)

104

1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.

105

1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.

106

1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.

{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}

111

Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:

112

(% class="abc" %)

113

1. {{formula}} 4\cdot 0,5^x=100 {{/formula}}

114

1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}

115

1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}

116

1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}

117

1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}

118

119

120

{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}

121

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:

122

(% class="abc" %)

123

1. {{formula}} 2x=x^{2} {{/formula}}

124

1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}

125

1. {{formula}} 2e^x=e^{2x} {{/formula}}

126

127

128

{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}

129

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:

130

(% class="abc" %)

131

1. {{formula}} 2x-3=x^{2} {{/formula}}

132

1. {{formula}} 2x^e-3=x^{2e} {{/formula}}

133

1. {{formula}} 2e^x-3=e^{2x} {{/formula}}

134

1. {{formula}} 2e^{x-3}=e^{2x-3} {{/formula}}

135

136

137

{{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}

138

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen

139

(% class="abc" %)

140

1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}}

141

1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}}

142

1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}}

143

1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}}

144

145

146

{{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}

147

Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.

148

(% class="abc" %)

149

1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}

150

1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}

151

1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}

152

1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}

153

154

[[image:ExpGlei.svg||width="600px"]]

155

156

157

Wiki-Quellcode von BPE 4.5 Logarithmus und Exponentialgleichungen

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author	version	line-number	content
		1	{{seiteninhalt/}}
		2
		3	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
		4	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
		5	[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
		6	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
		7	[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
		8	[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
		9
		10	Aufgaben:
		11	– Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
		12	Lösen von Exponentialgleichungen:
		13	– Vokabelheft für Umkehroperationen
		14	– Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
		15	– Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
		16	– Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
		17	- Näherungslösungen
		18
		19	Gleichungen:
		20	x+y = e --> y = e - x
		21	x*y = e --> y = e / x
		22	e^y = x --> y = ln(x)
		23
		24	{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
		25	Nenne jeweils eine passende Gleichung:
		26
		27	Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich{{formula}} \ldots {{/formula}}
		28	(% class="abc" %)
		29	1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
		30	1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
		31	1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
		32	{{/aufgabe}}
		33
		34	{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
		35	Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
		36	{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
		37	{{/aufgabe}}
		38
		39	{{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
		40	Ordne zu:
		41	(% class="border slim " %)
		42	\|Implizite Gleichungen\|Explizite Gleichungen\|Wertetabellen\|Schaubilder
		43	\|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}\|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}\|(((
		44	\|x\|0\|1\|2\|3
		45	\|y\|1\|2\|4\|8
		46	)))\|[[image:2^xund8.svg\|\|width="200px"]]
		47	\|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}\|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} \|(((
		48	\|x\|0\|1\|2\|3
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		50	)))\|[[image:2^-xund8.svg\|\|width="200px"]]
		51	\|{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}\|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} \|(((
		52	\|x\|0\|1\|2\|3
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		54	)))\|[[image:x^3und8.svg\|\|width="200px"]]
		55	\|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}\|{{formula}} x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}} \|(((
		56	\|x\|0\|1\|2\|3
		57	\|y\|0\|1\|8\|27
		58	)))\|[[image:x^-3und8.svg\|\|width="200px"]]
		59
		60
		61	{{/aufgabe}}
		62
		63	{{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
		64	Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
		65
		66	[[image:Logarithmus_neu.svg\|\|width="600px"]]
		67
		68	(% class="abc" %)
		69	1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
		70	1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
		71	1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
		72	1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
		73	1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
		74	1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
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		78	{{/aufgabe}}
		79
		80	{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
		81	(% class="abc" %)
		82	Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} 2^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
		83	{{/aufgabe}}
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		85	{{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
		86	(% class="abc" %)
		87	Aufgabe als Dokument im Anhang ‚unten‘.
		88	{{/aufgabe}}
		89
		90
		91	{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
		92	Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
		93
		94	(% class="border slim " %)
		95	\|Typ 1 Umkehroperationen\|Typ 2 Ausklammern\|Typ 3 Substitution
		96	\|{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}\|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}\|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
		97	\|{{formula}}x^4 = e{{/formula}}\|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}\|{{formula}}x^{2x}+x^e+1 = 0{{/formula}}
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		99	\|{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}\|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}\|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
		100	{{/aufgabe}}
		101
		102	Nenne eine passende Gleichung. Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich {{formula}} \ldots {{/formula}}
		103	(% class="abc" %)
		104	1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
		105	1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
		106	1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
		107	{{/aufgabe}}
		108
		109
		110	{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
		111	Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
		112	(% class="abc" %)
		113	1. {{formula}} 4\cdot 0,5^x=100 {{/formula}}
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		117	1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
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		119
		120	{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
		121	Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
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		125	1. {{formula}} 2e^x=e^{2x} {{/formula}}
		126	{{/aufgabe}}
		127
		128	{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
		129	Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
		130	(% class="abc" %)
		131	1. {{formula}} 2x-3=x^{2} {{/formula}}
		132	1. {{formula}} 2x^e-3=x^{2e} {{/formula}}
		133	1. {{formula}} 2e^x-3=e^{2x} {{/formula}}
		134	1. {{formula}} 2e^{x-3}=e^{2x-3} {{/formula}}
		135	{{/aufgabe}}
		136
		137	{{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
		138	Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
		139	(% class="abc" %)
		140	1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}}
		141	1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}}
		142	1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}}
		143	1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}}
		144	{{/aufgabe}}
		145
		146	{{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
		147	Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
		148	(% class="abc" %)
		149	1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
		150	1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
		151	1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}
		152	1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}
		153
		154	[[image:ExpGlei.svg\|\|width="600px"]]
		155	{{/aufgabe}}
		156
		157	{{seitenreflexion/}}

unfertig	fertig
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