BPE 7 Einheitsübergreifend

Aufgabe 1  Nachweis Quader (gAN) 𝕃

Die Vektoren  \(\vec{a}= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)\),\(\vec{b}= \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)\) und \(\vec{c_t}= \left(\begin{array}{c} 4t \\ 2t \\ -5t \end{array}\right)\) spannen für jeden Wert von \( t \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\) einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von \(t\).

1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
2. Bestimme diejenigen Werte von \(t\), für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.

#iqb

Aufgabe 2  Berechnungen am Quader (gAN) 𝕃

Die Abbildung zeigt einen Quader sowie die Ortsvektoren der Eckpunkte \(A, B\) und \(D\). Die Grundfläche \(OABC\) des Quaders ist quadratisch.

1. Beschreibe die Lage des Punkts, zu dem der Ortsvektor \(\frac{1}{2}\cdot (\vec{b}-\vec{a})\) gehört.

Der Punkt \(P\) hat den Ortsvektor \(\frac{1}{2}\vec{b}+ \vec{d}\).

2. Zeichne \(P\) in die Abbildung ein.
3. Begründe, dass der Wert des Terms \(\vec{b} \circ \overline{OP}\) nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt.

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Aufgabe 3  Rasenfläche (gAN) 𝕃

Die Punkte \(A(0|0|0), B(18|0|1,5), C(12|10|1), D(12|15|1)\) und \(E(0|15|0)\) stellen modellhaft die Eckpunkte einer ebenen Rasenfläche dar (vgl. Abbildung). Die Strecken \(\overline{AB}\) und \(\overline{DE}\) sind parallel.
Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

1. Zeige, dass auch \(\overline{AE}\) und \(\overline{CD}\) parallel sind und dass \(\overline{CD}\) und \(\overline{DE}\) einen rechten Winkel einschließen.
2. Ausgehend vom Ansatz \(|\overline{AE}| \cdot |\overline{DE}| + \frac{1}{2}\cdot (|\overline{AB}|- |\overline{DE}|)\cdot\bigl(|\overline{AE}|-|\overline{CD}|\bigl) \) kann eine Größe berechnet werden, die im betrachteten  Sachzusammenhang eine Rolle spielt. Nenne diese Größe und erläutere den gegebenen Ansatz.

Die Rasenfläche wird von einem Roboter gemäht, der die Form eines flachen Zylinders hat. Zur Beschreibung der Bewegung des Roboters wird der Mittelpunkt seiner kreisförmigen Unterseite betrachtet, die einen Radius von 20 cm hat. Es soll vereinfachend davon ausgegangen werden, dass dieser Mittelpunkt die Rasenfläche berührt. Die Position des Mittelpunkts wird zunächst durch \(P(3,6|8|0,3)\) dargestellt (vgl. Abbildung). Die anschließende Bewegung des Mittelpunkts verläuft im Modell entlang der Gerade \(g\), die durch \(P\) verläuft und den Richtungsvektor \(\vec{a}= \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)\) hat. Dabei bewegt sich der Roboter auf den durch \(\overline{BC}\) dargestellten Rand der Rasenfläche zu.

3. Berechne die Koordinaten des Punkts \(Q\), in dem \(g\) die Strecke \(\overline{BC}\) schneidet. (zur Kontrolle: \(Q(15,6|4|1,3)\) )
4. Weise nach, dass der Winkel, unter dem sich der Roboter dem Rand der Rasenfläche nähert, etwa 41° groß ist.
5. Der Roboter ändert seine Richtung, sobald der Rand seiner Unterseite den Rand der Rasenfläche erreicht. Der Punkt, der die Position des Mittelpunkts im Moment der Richtungsänderung darstellt, wird mit \( S \) bezeichnet. Berechne mithilfe einer geeigneten Skizze die Koordinaten von \(S\).

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Aufgabe 4  Ähnlichkeit und Strahlensätze (eAN) 𝕃

Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt das Quadrat \(ABCD\). Die Gerade \(g\), die durch \(B\) und den Mittelpunkt \(M\) der Seite \(\overline{AD}\) verläuft, hat den Richtungsvektor \(\vec{v}\). Der Punkt \(F\) ist der Fußpunkt des Lots von \(A\) auf \(g\).

1. Begründe, dass \(|\overline{BF}|=2\cdot |\overline{AF}|\) gilt.
2. Gib einen Term an, mit dem man die Koordinaten von \(B\) bestimmen könnte, wenn die Koordinaten von \(A\) und \(F\) sowie die Komponenten von \( \vec{v}\) bekannt wären.

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Aufgabe 5  Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt (eAN) 𝕃

Für \(k \in \mathbb{R} \) mit \(0<k\leq 6\) werden die Pyramiden \(ABCD_k \) mit \(A(0|0|0), B(4|0|0), C(0|4|0)\) und \( D_k(0|0|k)\) betrachtet (vgl. Abbildung)
 

1. Begründe, dass das Dreieck \(BCD_k\) gleichschenklig ist.
2. Der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{BC}\) ist \(M(2|2|0)\).
   Begründe, dass \(|\overline{MD_k}|=\)\(\left| \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ k \end{array}\right)\right|\) die Länge einer Höhe des Dreiecks \(BCD_k\) ist.
   Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks \(BCD_k\).

Für jeden Wert von k liegt die Seitenfläche \(BCD_k\) in der Ebene \(L_k\).

3. Bestimme eine Gleichung von \(L_k\) in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(x_1+x_2+\frac{4}{k}\cdot x_3 =4\))
 
4. Ermittle denjenigen Wert von \(k\), für den die Größe des Winkels, unter dem die x₃-Achse die Ebene \(L_k\) schneidet, 30° beträgt.

  

Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der Abbildung 2 gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte \(A\) und \(Q(1|1|3)\) sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen.
Für \(k=6\) enthält die Seitenfläche \(BCD_k\) der Pyramide den Eckpunkt \(Q\) des Quaders. Für kleinere Werte von \(k\) schneidet die Seitenfläche \(BCD_k\) den Quader in einem Vieleck.
 
5. Für einen Wert von \(k\) verläuft die Seitenfläche \(BCD_k\) durch die Eckpunkte \(P\) und \(R\) des Quaders. Bestimme diesen Wert von \( k\)   (zur Kontrolle: \(k=4\))
 
6.Gib in Abhängigkeit von \(k\) die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks an, in dem die Seitenfläche \(BCD_k\) den Quader schneidet.
 
 
 
 
7. Nun wird die Pyramide \(ABCD_6\) , d. h. diejenige für \(k=6\), betrachtet. Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der x₁x₂-Ebene, haben den Eckpunkt \(A\) gemeinsam und sind quadratisch. Die Höhe \(h\) der Quader durchläuft alle reellen Werte mit \(0<h<6\). Für jeden Wert von \(h\)liegt der Eckpunkt \(Q_h\) in der Seitenfläche \(BCD_6\) der Pyramide. Ermittle die Koordinaten des Punkts \(Q_h\).

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