BPE 7.2 Addition, Skalare Multiplikation, Betrag, Abstand, Strecke

Aufgabe 1  Vektoraddition zeichnerisch

Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem und ermittle zeichnerisch
a)  
 ;
b)
 ;

Aufgabe 2  Vektoraddition zeichnerisch 2 𝕃

Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem und ermittle zeichnerisch
a)  
 ;  ;
b)
 ;  ;

Aufgabe 3  Vektoraddition rechnerisch 𝕃

Berechne
a)  

b)

c)

d)  

e)  

 
f)

g)

h)

i)

Aufgabe 4  Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl zeichnerisch

a) Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem und ermittle zeichnerisch  mit
b) Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem und ermittle zeichnerisch  mit

Aufgabe 5  Gemischte Aufgaben

a)
b)
c)
d)
e)
f)

Aufgabe 6  Segelregatta Teil 1 𝕃

Im Segel-Wettbewerb müssen nacheinander die einzelnen Bojen  bis  von außen umfahren werden. Das Rennen beginnt im Punkt  und endet im Punkt .
 
Das Segelteam steuert das Schiff um die Bojen, sie segeln also entlang der folgenden Vektoren:
 und
 

Drücke die Vektoren  und  durch Linearkombinationen folgender Vektoren aus:
 

Aufgabe 7  Segelregatta Teil 2 𝕋  𝕃

Im Segel-Wettbewerb müssen nacheinander die einzelnen Bojen  bis  von außen umfahren werden. Das Rennen beginnt im Punkt  und endet im Punkt .

Das Segelteam steuert den untenstehenden Kurs um die Bojen. Dabei dient der „Landungspunkt“ jedes Vektors immer als Startpunkt für den neuen Vektor.

mit

Prüfe, ob der Kurs den Regeln der Regatta entspricht. Begründe deine Entscheidung.

Aufgabe 8  Segelregatta Teil 3 (Länge einer Strecke) 𝕃

Im Segel-Wettbewerb müssen nacheinander die einzelnen Bojen  bis  von außen umfahren werden. Das Rennen beginnt im Punkt  und endet im Punkt .
 
Das Segelteam steuert das Schiff um die Bojen, sie segeln also entlang der folgenden Vektoren:
 und .
 
Berechne die Gesamtlänge dieses Segelkurses. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 100 Metern in der Wirklichkeit.
 

Aufgabe 9  Vektor 𝕋  𝕃

Der Vektor  verläuft parallel zur zweiten Winkelhalbierenden.
Zusätzlich soll gelten: .
Bestimme den Wert von d.

Aufgabe 10  Vektoraddition

Gegeben sind die Punkte ,  und .
Berechne die Koordinaten von einem Punkt , wobei gilt:

Aufgabe 11  Zylinder (eAN) 𝕋  𝕃

In einem Koordinatensystem ist ein gerader Zylinder mit dem Radius 5 und der Höhe 10 gegeben, dessen Grundfläche in der -Ebene liegt.  ist der Mittelpunkt der Deckfläche.

1. Weise nach, dass der Punkt  auf dem Rand der Grundfläche des Zylinders liegt.
2. Unter allen Punkten auf dem Rand der Deckfläche hat der Punkt  den kleinsten Abstand von , der Punkt  den größten. Gib die Koordinaten von  an und bestimme die Koordinaten von .

#iqb

Aufgabe 12  Vektoren Sechseck (gAN) 𝕃

Im abgebildeten Sechseck  sind jeweils zwei Seiten parallel zueinander.

1. Stelle die Vektoren  und  jeweils mithilfe der Eckpunkte des Sechsecks dar.
2. Stelle den Vektor  mithilfe drei der Vektoren  und  dar.
3. Der Punkt  hat in einem kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten  und  Der Mittelpunkt der Strecke  wird mit  bezeichnet. Der Punkt  ist der Mittelpunkt der Strecke . Ermittle die Koordinaten von .

#iqb

Aufgabe 13  Nachweis Dreieck (gAN) 𝕋  𝕃

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte ,  und  gegeben.

1. Weise nach, dass  und  Eckpunkte eines Dreiecks sind.
2. Für jede reelle Zahl  ist ein Punkt  gegeben. Bestimme alle Werte von , für die die Strecke von  nach  die Länge 2 hat.

#iqb

Aufgabe 14  gleichschenkliges Dreieck (eAN) 𝕋 

Gegeben sind die Punkte ,  und .

1. Zeige, dass das Dreieck  gleichschenklig ist.
2. Begründe, dass  und  Eckpunkte eines Quadrats sein können, und gib die Koordinaten des vierten Eckpunktes  dieses Quadrats an.

#iqb

Aufgabe 15  Saarpolygon (eAN) 𝕃

Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken  ,  und  mit , ,  und  besteht (vgl. Abbildung 2).  und  sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

1. Begründe, dass die Punkte  und  symmetrisch bezüglich der -Achse liegen.
2. Berechne die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.

#iqb

Aufgabe 16  Parallelogramm 𝕋  𝕃

Gegeben sind die Punkte , ,  und .

1. Zeige, dass das Viereck  ein Parallelogramm ist.
2. Der Punkt  liegt auf der Strecke . Berechne die Koordinaten des Punktes  so, dass er die Strecke  im Verhältnis  teilt.

Aufgabe 17  Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt (eAN)

Für  mit  werden die Pyramiden  mit  und  betrachtet (vgl. Abbildung)
 

1. Begründe, dass das Dreieck  gleichschenklig ist.
2. Der Mittelpunkt der Strecke  ist .
   Begründe, dass  die Länge einer Höhe des Dreiecks  ist.
   Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks .

#iqb

Aufgabe 18  Schwerpunkt im Dreieck 𝕃

Gegeben ist das Dreieck  mit den Eckpunkten ,  und .
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt .

1. Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes .
2. Weise mit Hilfe von Vektoren nach, dass der Schwerpunkt  die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt.