Änderungen von Dokument BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

Zusammenfassung

• Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,65 +1,13 @@
1	1	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen anwenden
2	2	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen kombinieren
3	3
4		-{{aufgabe id="Ableitungsregeln entdecken und begründen" afb="III" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="35"}}
5		-Gegeben sind eine reelle Zahl //a// sowie zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} für {{formula}}i=1,2{{/formula}}.
	4	+{{aufgabe id="Produktregel entdecken und begründen" afb="II" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
	5	+Gegeben sind zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} für {{formula}}i=1,2{{/formula}}.
6	6	(% class="abc" %)
7		-1. (((Ermittle rechnerisch (mittels Definition der Verknüpfung bzw. Verkettung) die Hauptform der folgenden zusammengesetzten Funktionen:
8		-1. Summenfunktion {{formula}}f=f_1 + f_2{{/formula}}
9		-1. Vielfachenfunktion {{formula}}f=a \cdot f_1{{/formula}}
10		-1. Produktfunktion {{formula}}f=f_1\cdot f_2{{/formula}}.
11		-1. Verkettung {{formula}}f=f_2\circ f_1{{/formula}}.
12		-
13		-)))
14		-1. Ermittle rechnerisch (mittels Definition des Differenzialquotienten) aus der Hauptform von //f// die Hauptform der ersten Ableitung //f'// von //f//.
15		-1. (((Zeige, dass sich //f'// folgendermaßen schreiben lässt:
16		-1. Summenfunktion {{formula}}f'=f_1' + f_2'{{/formula}}
17		-1. Vielfachenfunktion {{formula}}f'=a \cdot f_1'{{/formula}}
18		-1. Produktfunktion {{formula}}f'=f_1'\cdot f_2+f_1\cdot f_2'{{/formula}}
19		-1. Verkettung {{formula}}f'=(f_2'\circ f_1) \cdot f_1'{{/formula}}.
20		-
21		-)))
22		-1. Recherchiere die Ableitungsregeln (vgl. Merkhilfe, S. 5).
23		-1. Begründe bzw. plausibilisiere, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Ableitungsregeln für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt sind.
24		-//Anmerkung//. Verwende dafür, dass differenzierbare Funktionen //lokal// "linear approximierbar" sind (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von //u// die Näherung {{formula}}f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u){{/formula}} gilt. Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche die Ableitungsregeln erfüllen.
	7	+1. Ermittlere rechnerisch die Hauptform der Produktfunktion {{formula}}f=f_1\cdot f_2{{/formula}} und der ersten Ableitung //f'// von //f//.
	8	+1. Zeige, dass sich //f'// folgendermaßen schreiben lässt: {{formula}}f'=f_1'\cdot f_2+f_1\cdot f_2'{{/formula}}.
	9	+1. Recherchiere die Produktregel für Ableitungen; vgl. Merkhilfe Seite 5.
	10	+1. Begründe bzw. plausibilisiere, dass durch die Teilaufgaben (a) und (b) die Produktregel für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt ist.
	11	+//Anmerkung//. Verwende dafür, dass differenzierbare Funktionen //lokal// "linear approximierbar" sind; vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1.
25	25	{{/aufgabe}}
26	26
27		-{{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
28		-Gegeben ist eine Exponentialfunktion {{formula}}f_q{{/formula}} mit {{formula}}f_q(x)=q^x{{/formula}} für //q>0//. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}f_q'{{/formula}} untersuchen und gehen dabei folgendermaßen vor.
29		-(% class="abc" %)
30		-1. Zeige, dass gilt: {{formula}}f_q'(x)=f_q(x)\cdot f_q'(0){{/formula}}.
31		-1. Untersuche die Abbildung {{formula}}q\mapsto f_q'(0){{/formula}} mit dem WTR, indem du für //q// Potenzen von //e// nimmst und den Differenzialquotienten durch Differenzenquotienten mit kleinen Nennern approximierst.
32		-1. Es gilt folgende Äquivalenz: {{formula}}\lim_{h\to 0} \frac{q^h-1}{h}=1 \Leftrightarrow q=e{{/formula}}.
33		-{{/aufgabe}}
34		-
35		-{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
36		-Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion {{formula}}\ln{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}_+^*{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}}. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}\ln'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor.
37		-//Implizites Differenzieren//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=e^{\ln(x)}=x{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}1=h'(x)=e^{\ln(x)}\cdot \ln'(x){{/formula}} nach {{formula}}\ln'{{/formula}} auf.
38		-{{/aufgabe}}
39		-
40		-{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="III" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
41		-Gegeben ist eine Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^k{{/formula}}.
42		-(% class="abc" %)
43		-1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=0,1,2{{/formula}} mittels Definition des Differenzialquotienten.
44		-1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=3,4{{/formula}} mittels Produktregel.
45		-//Ansatz//. {{formula}}f(x)=x^3=x^2\cdot x{{/formula}} bzw. {{formula}}f(x)=x^4=x^3\cdot x{{/formula}}.
46		-1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=5{{/formula}} mittels Produktregel auf mindestens drei Weisen.
47		-//Ansatz//. {{formula}}f(x)=x^5=x^4\cdot x=x^3\cdot x^2= x^{12}\cdot x^{-7}{{/formula}} oder ähnliches.
48		-1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=1/2{{/formula}}.
49		-//Ansatz (implizites Differenzieren)//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=f(x)\cdot f(x)=x{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}1=h'(x)=2 f(x) f'(x){{/formula}} nach {{formula}}f'(x){{/formula}} auf.
50		-1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=-n{{/formula}} mit {{formula}}n\in \mathbb{N}^*{{/formula}}.
51		-//Ansatz (implizites Differenzieren)//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=x^n\cdot f(x)=1{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}0=h'(x)=(x^n)'\cdot f(x)+x^n\cdot f'(x){{/formula}} nach {{formula}}f'(x){{/formula}} auf.
52		-1. Zeige die Ableitungsregel für Potenzfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe, d.h., die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k\in \mathbb{R}_+^*{{/formula}}.
53		-//Ansatz//. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=x^k=e^{k\cdot \ln(x)}{{/formula}} von //f// und verwende die Ableitung der e-Funktion zzgl. Kettenregel.
54		-{{/aufgabe}}
55		-
56		-{{aufgabe id="Winkelfunktionen" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
57		-Gegeben sind die Winkelfunktionen {{formula}}\sin, \cos{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}[-1;+1]{{/formula}}. Wir wollen ihre ersten Ableitungen {{formula}}\sin', \cos'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=(\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1{{/formula}} (trigonometrischer Pythagoras).
58		-(% class="abc" %)
59		-1. //Implizites Differenzieren//. Zeige, dass gilt: {{formula}}\sin(x)\sin'(x)=-\cos(x)\cos'(x){{/formula}}.
60		-1. Begründe bzw. plausibilisiere mittels Teilaufgabe (a) und der Graphen der Winkelfunktionen, dass {{formula}}\sin'=\cos{{/formula}} und {{formula}}\cos'=-\sin{{/formula}} gilt.
61		-1. Zeige, dass aus {{formula}}\sin'=\cos{{/formula}} mittels Kettenregel {{formula}}\cos'=-\sin{{/formula}} folgt.
62		-//Ansatz//. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung {{formula}}\cos(x)=\sin(x-(-\pi/2)){{/formula}} von {{formula}}cos{{/formula}}.
63		-//Anmerkung//. Teilaufgabe (c) plausibilisiert die Behauptung in Teilaufgabe (b).
64		-1. Zeige die Ableitungsregeln für Winkelfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe.
65		-{{/aufgabe}}