Änderungen von Dokument BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

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Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.martinrathgeb
	1	+XWiki.martinawagner

Inhalt

...	...	@@ -1,6 +1,64 @@
1	1	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen anwenden
2	2	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen kombinieren
3	3
	4	+{{aufgabe id="Verknüpfung" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="6"}}
	5	+Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
	6	+
	7	+a) {{formula}}f(x)= e^{x}+2x +9 {{/formula}}.
	8	+b) {{formula}}f(x)=x \cdot sin(x) {{/formula}}.
	9	+c) {{formula}}f(x)= \frac{1}{x} -3x {{/formula}}.
	10	+
	11	+
	12	+{{/aufgabe}}
	13	+
	14	+{{aufgabe id="Verkettung" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="6"}}
	15	+Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
	16	+
	17	+a) {{formula}}f(x)=(3x+4)^5{{/formula}}.
	18	+b) {{formula}}f(x)=e^{-0,5x+3} {{/formula}}.
	19	+c) {{formula}}f(x)=-0,5cos(2x-6) {{/formula}}.
	20	+
	21	+{{/aufgabe}}
	22	+
	23	+{{aufgabe id="Verknüpfung und Verkettung" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="8"}}
	24	+Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
	25	+
	26	+a) {{formula}}f(x)=\sqrt{x} + cos (\pi {x}){{/formula}}.
	27	+b) {{formula}}f(x)=e^{-0,5x}\cdot sin(6x-1) {{/formula}}.
	28	+
	29	+{{/aufgabe}}
	30	+
	31	+{{aufgabe id="Verknüpfung und Verkettung eAN" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" niveau= "e" cc="BY-SA" zeit="8"}}
	32	+
	33	+Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen.
	34	+
	35	+a) {{formula}}f(x)=e^{ln(0,75)x}+ln(9x-5) {{/formula}}
	36	+b) {{formula}}f(x)=(3x+1)\cdot e^{-x^4} {{/formula}}.
	37	+
	38	+{{/aufgabe}}
	39	+
	40	+{{aufgabe id="Korrekturen" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="8"}}
	41	+
	42	+Tim hat zu einem gegebenen Funktionstermen eine Ableitung erstellt.
	43	+Begründe, warum die Ableitung nicht korrekt ist.
	44	+
	45	+{{formula}}f(x)=\frac{1}{(6x+9)^{4}} {{/formula}}~ und~ {{formula}}f´(x)=\frac{1}{4(6x+9)^{3}} {{/formula}}
	46	+
	47	+{{/aufgabe}}
	48	+
	49	+
	50	+{{aufgabe id="Funktion und Ableitung" afb="III" kompetenzen="K2, K5, K6" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="8"}}
	51	+
	52	+Ein Funktionsterm und deren Ableitung wurde nur unvollständig gegeben. Ermittle mögliche Eintragungen für die Kästchen.
	53	+Begründe, warum es mehrere Lösungen gibt.
	54	+
	55	+a) {{formula}}f(x)=e^{2x}\cdot\square {{/formula}}~ und~ {{formula}}f´(x)=2e^{2x}\cdot\square + 4e^{2x} {{/formula}}
	56	+b) {{formula}}f(x)=\square\cdot \frac{1}{x} {{/formula}}~ und {{formula}}f´(x)= \frac{5}{2\sqrt\square}\cdot\square + \square\cdot\square {{/formula}}
	57	+
	58	+{{/aufgabe}}
	59	+
	60	+
	61	+
4	4	{{aufgabe id="Ableitungsregeln entdecken und begründen" afb="III" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
5	5	Gegeben sind eine reelle Zahl //a// sowie zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} für {{formula}}i=1,2{{/formula}}.
6	6	(% class="abc" %)
...	...	@@ -21,10 +21,11 @@
21	21	)))
22	22	1. Recherchiere die Ableitungsregeln (vgl. Merkhilfe, S. 5).
23	23	1. Begründe bzw. plausibilisiere, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Ableitungsregeln für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt sind.
24		-//Anmerkung//. Verwende dafür, dass differenzierbare Funktionen //lokal// "linear approximierbar" sind (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von //u// die Näherung {{formula}}f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u){{/formula}} gilt. Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche die Ableitungsregeln erfüllen.
	82	+
	83	+//Anmerkung//, insbesondere zu Teilaufgabe e). Jede differenzierbare Funktion ist //lokal// "linear", genauer: "linear approximierbar" (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von //u// gilt die Näherung {{formula}}f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u){{/formula}}. Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche erwiesenermaßen die Ableitungsregeln erfüllen.
25	25	{{/aufgabe}}
26	26
27		-{{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
	86	+{{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="III" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
28	28	Gegeben ist eine Exponentialfunktion {{formula}}f_q{{/formula}} mit {{formula}}f_q(x)=q^x{{/formula}} für //q>0//. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}f_q'{{/formula}} untersuchen und gehen dabei folgendermaßen vor.
29	29	(% class="abc" %)
30	30	1. Zeige, dass gilt: {{formula}}f_q'(x)=f_q(x)\cdot f_q'(0){{/formula}}.
...	...	@@ -40,12 +40,12 @@
40	40	1. Es gelten allgemein folgende Gleichungen für die erste Ableitung: {{formula}}f_q'(x)=\ln(q)\cdot f_q(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_q'=\ln(q)\cdot f_q{{/formula}}.
41	41	{{/aufgabe}}
42	42
43		-{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
	102	+{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
44	44	Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion {{formula}}\ln{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}_+^*{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}}. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}\ln'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor.
45	45	//Implizites Differenzieren//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=e^{\ln(x)}=x{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}1=h'(x)=e^{\ln(x)}\cdot \ln'(x){{/formula}} nach {{formula}}\ln'{{/formula}} auf.
46	46	{{/aufgabe}}
47	47
48		-{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
	107	+{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="III" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
49	49	Gegeben ist eine Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^k{{/formula}}.
50	50	(% class="abc" %)
51	51	1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=0,1,2{{/formula}} mittels Definition des Differenzialquotienten.
...	...	@@ -59,7 +59,8 @@
59	59	//Ansatz (implizites Differenzieren)//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=x^n\cdot f(x)=1{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}0=h'(x)=(x^n)'\cdot f(x)+x^n\cdot f'(x){{/formula}} nach {{formula}}f'(x){{/formula}} auf.
60	60	1. Zeige die Ableitungsregel für Potenzfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe, d.h., die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k\in \mathbb{R}_+^*{{/formula}}.
61	61	//Ansatz//. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=x^k=e^{k\cdot \ln(x)}{{/formula}} von //f// und verwende die Ableitung der e-Funktion zzgl. Kettenregel.
62		-//Anmerkung//. Die Fortsetzung {{formula}}e^{k\cdot \ln(x)}{{/formula}} der Funktionsgleichung von //f// leistet (geradezu nebenbei) die (längst überfällige) Definition von Potenzen mit positiv reellen Exponenten.
	121	+
	122	+//Anmerkung//. In der letzten Teilaufgabe leistet die Fortsetzung {{formula}}e^{k\cdot \ln(x)}{{/formula}} der Funktionsgleichung von //f// (geradezu nebenbei) die (längst überfällige) Definition von Potenzen mit positiv reellen Exponenten.
63	63	{{/aufgabe}}
64	64
65	65	{{aufgabe id="Winkelfunktionen" afb="III" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
...	...	@@ -66,9 +66,10 @@
66	66	Gegeben sind die Winkelfunktionen {{formula}}\sin, \cos{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}[-1;+1]{{/formula}}. Wir wollen ihre ersten Ableitungen {{formula}}\sin', \cos'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=(\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1{{/formula}} (trigonometrischer Pythagoras).
67	67	(% class="abc" %)
68	68	1. //Implizites Differenzieren//. Zeige, dass gilt: {{formula}}\sin(x)\sin'(x)=-\cos(x)\cos'(x){{/formula}}.
69		-1. Begründe bzw. plausibilisiere mittels Teilaufgabe (a) und der Graphen der Winkelfunktionen, dass {{formula}}\sin'=\cos{{/formula}} und {{formula}}\cos'=-\sin{{/formula}} gilt.
	129	+1. Begründe bzw. plausibilisiere mittels Teilaufgabe (a) und graphisches Ableiten, dass {{formula}}\sin'=\cos{{/formula}} und {{formula}}\cos'=-\sin{{/formula}} gilt.
70	70	1. Zeige, dass aus {{formula}}\sin'=\cos{{/formula}} mittels Kettenregel {{formula}}\cos'=-\sin{{/formula}} folgt.
71	71	//Ansatz//. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung {{formula}}\cos(x)=\sin(x-(-\pi/2)){{/formula}} von {{formula}}cos{{/formula}}.
72		-//Anmerkung//. Teilaufgabe (c) plausibilisiert die Behauptung in Teilaufgabe (b).
73	73	1. Zeige die Ableitungsregeln für Winkelfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe.
	133	+
	134	+//Anmerkung//. Teilaufgabe (c) plausibilisiert die Behauptung in b).
74	74	{{/aufgabe}}