Änderungen von Dokument BPE 4.1 Exponentialfunktion und Eulersche Zahl

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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71	71	{{/lehrende}}
72	72
73	73	{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
	74	+
	75	+**Bereinigter und überarbeiteter Wiki-Code gemäß BP BW (BG, Abitur ab 2024)**
	76	+
	77	+[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Funktionsterm erkennen
	78	+[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
	79	+[[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl \( e \) auf zwei Nachkommastellen genau angeben
	80	+[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
	81	+[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
	82	+
	83	+[[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
	84	+
	85	+---
	86	+
	87	+{{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2" cc="by-sa"}}
	88	+Entscheide, ob der Ausdruck ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.
	89	+(% class="abc" %)
	90	+1. \( \frac{1}{8}\left(2(x-2)\right)^3 + 1 \)
	91	+1. \( \frac{1}{8} \cdot 2^{3(x+1)} - 1 \)
	92	+{{/aufgabe}}
	93	+
	94	+{{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
	95	+Gegeben ist der Graph der Funktion \(f\) mit \( f(x) = e^x \).
	96	+Skizziere (ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle) die Graphen der Funktionen \(g\) und \(h\) mit \( g(x) = 2^x \) und \( h(x) = 3^x \) im Vergleich zum Graphen von \(f\).
	97	+[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]
	98	+{{/aufgabe}}
	99	+
	100	+{{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
	101	+Ordne die Funktionsgraphen den Funktionsgleichungen zu.
	102	+Skizziere zusätzlich in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für \( x < 0 \).
	103	+
	104	+\( f(x) = 1 + 2x \), \( g(x) = 1 + x^2 \), \( h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x \),
	105	+\( i(x) = \frac{1}{(x+1)^2} \), \( j(x) = 2^x \), \( k(x) = 1 \)
	106	+
	107	+[[image:graph f.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
	108	+[[image:graph g.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
	109	+[[image:graph h.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
	110	+[[image:graph p.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
	111	+[[image:graph q.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
	112	+[[image:graph r.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
	113	+
	114	+{{/aufgabe}}
	115	+
	116	+{{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
	117	+(% class="abc" %)
	118	+1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
	119	+(% class="border slim" %)
	120	+|=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
	121	+|=\( (-2)^x \)||||||
	122	+
	123	+1. Begründe, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen \( q > 0 \), \( q \ne 1 \) definiert werden.
	124	+{{/aufgabe}}
	125	+
	126	+{{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
	127	+Gegeben ist die Funktion \( f(x) = 2^x \).
	128	+Gib die Funktionsgleichung in der Form \( f(x) = 4^{kx} \) mit geeignetem \( k \) an.
	129	+{{/aufgabe}}
	130	+
	131	+{{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
	132	+Führe bei den folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.
	133	+(% class="abc" %)
	134	+1. \( f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x \), neue Basis \( b = 2 \)
	135	+1. \( f(x) = 9^x \), neue Basis \( b = \frac{1}{3} \)
	136	+1. \( f(x) = 5^{2x+1} \), neue Basis \( b = 25 \)
	137	+{{/aufgabe}}
	138	+
	139	+{{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
	140	+Gegeben sind die Zahlterme:
	141	+\( a_1 = 2 \)
	142	+\( a_2 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} \)
	143	+\( a_3 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} \)
	144	+\( a_4 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \)
	145	+
	146	+(% class="abc" %)
	147	+1. Beschreibe das Berechnungsmuster. Führe es fort und berechne \( a_5, a_6 \).
	148	+1. Die Eulersche Zahl \( e \) ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib \( e \) so genau an, wie du es in Teil a) berechnet hast.
	149	+{{/aufgabe}}
	150	+
	151	+{{aufgabe id="Natürliche Basis anschaulich" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Erweiterung" zeit="5" cc="by-sa"}}
	152	+Gegeben ist die Funktion \( f(x) = q^x \).
	153	+
	154	+Berechne für verschiedene Werte von \( q \in \{2;\ 2{,}5;\ 3;\ e\} \) den Funktionswert an der Stelle \( x = 0 \) sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall \([0,\ 0{,}1]\).
	155	+
	156	+(% class="abc" %)
	157	+1. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.
	158	+1. Welche Besonderheit stellst du für \( q = e \) fest?
	159	+1. Erkläre, warum man \( e \) als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.
	160	+{{/aufgabe}}
	161	+
	162	+{{lehrende}}
	163	+Die Kompetenz „Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen“ wird in einer Zusatzaufgabe vertieft. Dabei wird herausgestellt, dass bei \( f(x) = e^x \) der Funktionswert und die Steigung an der Stelle \( x = 0 \) gleich sind, d. h. \( f(0) = 1 \) und \( f'(0) = 1 \).
	164	+Eine Anwendungsaufgabe zur stetigen Verzinsung kann hier sinnvoll ergänzen.
	165	+
	166	+K3 wird bewusst ausgelassen, da er in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
	167	+Für K2 gibt es aktuell keine geeigneten inhaltsbezogenen Anknüpfungspunkte.
	168	+AFB III muss in diesem Themenblock nicht zwingend erreicht werden.
	169	+{{/lehrende}}
	170	+
	171	+{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
	172	+