BPE 7 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/11/15 14:06

Gegeben sind die Eckpunkte A(2,5|0|0), B(2,5|3|0), C(3,5|3|0),D(3,5|4|0), E(0|4|0), F(0|-3|0),G(5|-3|0), H(5|0|0) des Grundriss einer Wohnung.

  1. Zeichne den Grundriss der Wohnung mit Hilfe der Punkte in ein dreidimensionales Koordinatensystem ein.
  2. Berechne die Größe dieser Wohnung, wenn eine Längeneinheit einem Meter entspricht.
AFB   IKompetenzen   K3 K5Bearbeitungszeit   12 min
Quelle   Martina Wagner, Caroline Leplat, Dirk TebbeLizenz   CC BY-SA

Gegeben ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Punkte A(12|0|2), B(12|8|2),C(4|8|2) sind Eckpunkte der Grundfläche. S(8|4|7,5) ist die Spitze der Pyramide.

  1. Zeichne die Pyramide in ein dreidimensionales Koordinatensystem und gib die Koordinaten von Punkt D an.
  2. Bestimme den Mittelpunkt M der Grundfläche der Pyramide.
  3. Zeige, dass es sich um eine quadratische Grundfläche handelt.  
  4. Erläutere die geometrische Bedeutung von \vec{MA}\cdot\vec{MS}=0.
  5. Untersuche, welche besondere Lage die Grundfläche der Pyramide im Koordinatensystem hat.
AFB   IIKompetenzen   K1 K4 K5Bearbeitungszeit   20 min
Quelle   Martina Wagner, Caroline Leplat, Dirk TebbeLizenz   CC BY-SA

Die Punkte A(0|0|0), B(5|0|0), C(5|5|0) und E(0|0|5) bilden die Eckpunkte eines Würfels.

  1. Bestimme, die fehlenden Koordinaten der Punkte D, F, G und H des Würfels und skizziere diesen in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
  2. Zeige, dass das Volumen des Würfels 125 Volumeneinheiten beträgt.
  3. Das Volumen einer Pyramide berechnet sich durch die Formel V=\frac{1}{3} \cdot G\cdot h
    Skizziere in ein dreidimensionales Koordinatensystem eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, die das gleiche Volumen wie der Würfel besitzt. Gib die Eckpunkte deiner Pyramide an.
AFB   IIKompetenzen   K1 K2 K4 K5Bearbeitungszeit   15 min
Quelle   Martina Wagner, Caroline Leplat, Dirk TebbeLizenz   CC BY-SA

Der Vektor \vec{a} mit der Länge 2 cm und der Vektor \vec{b} mit der Länge 3 cm schließen einen Winkel \alpha ein. Begründe, dass die Gegenvektoren von \vec{a} und \vec{b} den gleichen Winkel einschließen.

AFB   IIKompetenzen   K1 K4 K5Bearbeitungszeit   6 min
Quelle   Martina Wagner, Caroline Leplat, Dirk TebbeLizenz   CC BY-SA

Ein Papierflieger fliegt geradlinig durch die Punkte A(7|4,5|1,5) und B(4|2|2,5). Eine Blume mit den Koordinaten S(10|7|0,5) (1LE = 1m) liegt auf der Flugbahn des Papierfliegers. Nimm dazu Stellung. Begründe deine Antwort.

AFB   IIKompetenzen   K1 K2 K3 K6Bearbeitungszeit   6 min
Quelle   Katharina Schneider, Martin SternLizenz   CC BY-SA

Richtungsvektoren.jpg1. Benenne die in der Figur erkennbaren Vektoren.

  1. Zeige, dass die beiden Gleichungen
     \vec{AB}=-(\vec{a}-\vec{b}) und
     \vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA} den gleichen Richtungsvektor beschreiben.
AFB   IIKompetenzen   K1 K5Bearbeitungszeit   5 min
Quelle   Martina Wagner, Caroline Leplat, Dirk TebbeLizenz   CC BY-SA

aufgespannterQuader.PNG
Die Vektoren  \vec{a}= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right),\vec{b}= \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) und \vec{c_t}= \left(\begin{array}{c} 4t \\ 2t \\ -5t \end{array}\right) spannen für jeden Wert von t \in \mathbb{R}\setminus\{0\} einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von t.

  1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
  2. Bestimme diejenigen Werte von t, für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.

#iqb

AFB   IIKompetenzen   K1 K2 K5Bearbeitungszeit   15 min
Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY

QuaderOrtsvektoren.jpgDie Abbildung zeigt einen Quader sowie die Ortsvektoren der Eckpunkte A, B und D. Die Grundfläche OABC des Quaders ist quadratisch.

  1. Beschreibe die Lage des Punkts, zu dem der Ortsvektor \frac{1}{2}\cdot (\vec{b}-\vec{a}) gehört.

Der Punkt P hat den Ortsvektor \frac{1}{2}\vec{b}+ \vec{d}.

  1. Zeichne P in die Abbildung ein.
  2. Begründe, dass der Wert des Terms \vec{b} \cdot \overline{OP} nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt.

#iqb

AFB   IIIKompetenzen   K1 K2 K4 K5 K6Bearbeitungszeit   12 min
Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY

Rasenfläche.JPG
Die Punkte A(0|0|0), B(18|0|1,5), C(12|10|1), D(12|15|1) und E(0|15|0) stellen modellhaft die Eckpunkte einer ebenen Rasenfläche dar (vgl. Abbildung). Die Strecken \overline{AB} und \overline{DE} sind parallel.
Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

  1. Zeige, dass auch \overline{AE} und \overline{CD} parallel sind und dass \overline{CD} und \overline{DE} einen rechten Winkel einschließen.
  2. Ausgehend vom Ansatz |\overline{AE}| \cdot |\overline{DE}| + \frac{1}{2}\cdot (|\overline{AB}|- |\overline{DE}|)\cdot\bigl(|\overline{AE}|-|\overline{CD}|\bigl)  kann eine Größe berechnet werden, die im betrachteten  Sachzusammenhang eine Rolle spielt. Nenne diese Größe und erläutere den gegebenen Ansatz.

#iqb

AFB   IKompetenzen   K3 K4 K5Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY

gleichschenkligesdreieckabb1.png
Für k \in \mathbb{R}  mit 0<k\leq 6 werden die Pyramiden ABCD_k  mit A(0|0|0), B(4|0|0), C(0|4|0) und D_k(0|0|k) betrachtet (vgl. Abbildung)

  1. Begründe, dass das Dreieck BCD_k gleichschenklig ist.
  2. Der Mittelpunkt der Strecke \overline{BC} ist M(2|2|0).
    Begründe, dass |\overline{MD_k}|=\left| \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ k \end{array}\right)\right| die Länge einer Höhe des Dreiecks BCD_k ist.
    Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks BCD_k.

#iqb

AFB   IIIKompetenzen   K1 K2 K4 K5 K6Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY

QuadratABCD.PNG
Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt das Quadrat ABCD. Die Gerade g, die durch B und den Mittelpunkt M der Seite \overline{AD} verläuft, hat den Richtungsvektor \vec{v}. Der Punkt F ist der Fußpunkt des Lots von A auf g.

  1. Begründe, dass |\overline{BF}|=2\cdot |\overline{AF}| gilt.
  2. Gib einen Term an, mit dem man die Koordinaten von B bestimmen könnte, wenn die Koordinaten von A und F sowie die Komponenten von \vec{v} bekannt wären.

#iqb

AFB   IIIKompetenzen   K1 K2 K4Bearbeitungszeit   7 min
Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY

Gegeben sind die Punkte A(5|0|a) und B(2|4|5). Der Koordinatenursprung wird mit O bezeichnet.

  1. Bestimme denjenigen Wert von a, für den A und B den Abstand 5 haben.
  2. Ermittle denjenigen Wert von a, für den das Dreieck OAB im Punkt B rechtwinklig ist.

#iqb

AFB   IIKompetenzen   K2 K5Bearbeitungszeit   7 min
Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY

Die Punkte B\left(4\left|3\right|12\right) und C\left(2\left|4\right|10\right) sind Eckpunkte eines Parallelogramms ABCD, dessen Diagonalen sich im Punkt M\left(3\left|2\right|1\right) schneiden.

  1. Verschiebt man jeden der Punkte A,B,C,D und M parallel zur x_3-Achse in die x_1x_2-Ebene, so ergeben sich die Punkte A^\prime,B^\prime,C^\prime,D^\prime bzw. M^\prime. Das Viereck A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime ist ein Parallelogramm, dessen Diagonalen sich im Punkt M^\prime schneiden.

Zeichne A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime und M^\prime in die Abbildung ein.

Koordinatensystemparallelogramm.PNG

  1. Berechne den Wert des Skalarprodukts \overrightarrow{CM}\circ\overrightarrow{CB}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -9 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) und beurteile, ob der Winkel zwischen den Vektoren \overrightarrow{CM} und \overrightarrow{CB} kleiner als 90^\circ ist.

#iqb

AFB   k.A.Kompetenzen   K1 K2 K4 K5Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY
K1K2K3K4K5K6
I002120
II641361
III330322