BPE 7 Einheitsübergreifend

Aufgabe 1  Grundriss 𝕃

Gegeben sind die Eckpunkte \(A(2,5|0|0), B(2,5|3|0), C(3,5|3|0),D(3,5|4|0), E(0|4|0), F(0|-3|0),G(5|-3|0), H(5|0|0)\) des Grundriss einer Wohnung.

1. Zeichne den Grundriss der Wohnung mit Hilfe der Punkte in ein dreidimensionales Koordinatensystem ein.
2. Berechne die Größe dieser Wohnung, wenn eine Längeneinheit einem Meter entspricht.

Aufgabe 2  Pyramide 𝕃

Gegeben ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Punkte \(A(12|0|2), B(12|8|2),C(4|8|2)\) sind Eckpunkte der Grundfläche. \( S(8|4|7,5)\) ist die Spitze der Pyramide.

1. Zeichne die Pyramide in ein dreidimensionales Koordinatensystem und gib die Koordinaten von Punkt D an.
2. Bestimme den Mittelpunkt M der Grundfläche der Pyramide.
3. Zeige, dass es sich um eine quadratische Grundfläche handelt.  
4. Erläutere die geometrische Bedeutung von \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MS}=0\).
5. Untersuche, welche besondere Lage die Grundfläche der Pyramide im Koordinatensystem hat.

Aufgabe 3  Würfel 𝕃

Die Punkte \(A(0|0|0), B(5|0|0), C(5|5|0)\) und \(E(0|0|5)\) bilden die Eckpunkte eines Würfels.

1. Bestimme, die fehlenden Koordinaten der Punkte D, F, G und H des Würfels und skizziere diesen in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
2. Zeige, dass das Volumen des Würfels 125 Volumeneinheiten beträgt.
3. Das Volumen einer Pyramide berechnet sich durch die Formel \(V=\frac{1}{3} \cdot G\cdot h\)
   Skizziere in ein dreidimensionales Koordinatensystem eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, die das gleiche Volumen wie der Würfel besitzt. Gib die Eckpunkte deiner Pyramide an.

Aufgabe 4  Winkel 𝕃

Der Vektor \(\vec{a}\) mit der Länge 2 cm und der Vektor \(\vec{b}\) mit der Länge 3 cm schließen einen Winkel \(\alpha\) ein. Begründe, dass die Gegenvektoren von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) den gleichen Winkel einschließen.

Aufgabe 5  Papierflieger 𝕃

Ein Papierflieger fliegt geradlinig durch die Punkte \(A(7|4,5|1,5)\) und \(B(4|2|2,5)\). Eine Blume mit den Koordinaten \(S(10|7|0,5)\) (1LE = 1m) liegt auf der Flugbahn des Papierfliegers. Nimm dazu Stellung. Begründe deine Antwort.

Aufgabe 6  Richtungsvektor 𝕃

1. Benenne die in der Figur erkennbaren Vektoren.

2. Zeige, dass die beiden Gleichungen
    \(\vec{AB}=-(\vec{a}-\vec{b})\) und
    \(\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}\) den gleichen Richtungsvektor beschreiben.

Aufgabe 7  Nachweis Quader (gAN) 𝕃

Die Vektoren  \(\vec{a}= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)\),\(\vec{b}= \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)\) und \(\vec{c_t}= \left(\begin{array}{c} 4t \\ 2t \\ -5t \end{array}\right)\) spannen für jeden Wert von \( t \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\) einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von \(t\).

1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
2. Bestimme diejenigen Werte von \(t\), für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.

#iqb

Aufgabe 8  Berechnungen am Quader (gAN) 𝕃

Die Abbildung zeigt einen Quader sowie die Ortsvektoren der Eckpunkte \(A, B\) und \(D\). Die Grundfläche \(OABC\) des Quaders ist quadratisch.

1. Beschreibe die Lage des Punkts, zu dem der Ortsvektor \(\frac{1}{2}\cdot (\vec{b}-\vec{a})\) gehört.

Der Punkt \(P\) hat den Ortsvektor \(\frac{1}{2}\vec{b}+ \vec{d}\).

2. Zeichne \(P\) in die Abbildung ein.
3. Begründe, dass der Wert des Terms \(\vec{b} \cdot \overline{OP}\) nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt.

#iqb

Aufgabe 9  Rasenfläche (gAN) 𝕃

Die Punkte \(A(0|0|0), B(18|0|1,5), C(12|10|1), D(12|15|1)\) und \(E(0|15|0)\) stellen modellhaft die Eckpunkte einer ebenen Rasenfläche dar (vgl. Abbildung). Die Strecken \(\overline{AB}\) und \(\overline{DE}\) sind parallel.
Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

1. Zeige, dass auch \(\overline{AE}\) und \(\overline{CD}\) parallel sind und dass \(\overline{CD}\) und \(\overline{DE}\) einen rechten Winkel einschließen.
2. Ausgehend vom Ansatz \(|\overline{AE}| \cdot |\overline{DE}| + \frac{1}{2}\cdot (|\overline{AB}|- |\overline{DE}|)\cdot\bigl(|\overline{AE}|-|\overline{CD}|\bigl) \) kann eine Größe berechnet werden, die im betrachteten  Sachzusammenhang eine Rolle spielt. Nenne diese Größe und erläutere den gegebenen Ansatz.

#iqb

Aufgabe 10  Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt (eAN) 𝕃

Für \(k \in \mathbb{R} \) mit \(0<k\leq 6\) werden die Pyramiden \(ABCD_k \) mit \(A(0|0|0), B(4|0|0), C(0|4|0)\) und \( D_k(0|0|k)\) betrachtet (vgl. Abbildung)

1. Begründe, dass das Dreieck \(BCD_k\) gleichschenklig ist.
2. Der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{BC}\) ist \(M(2|2|0)\).
   Begründe, dass \(|\overline{MD_k}|=\left| \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ k \end{array}\right)\right|\) die Länge einer Höhe des Dreiecks \(BCD_k\) ist.
   Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks \(BCD_k\).

#iqb

Aufgabe 11  Ähnlichkeit und Strahlensätze (eAN) 𝕃

Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt das Quadrat \(ABCD\). Die Gerade \(g\), die durch \(B\) und den Mittelpunkt \(M\) der Seite \(\overline{AD}\) verläuft, hat den Richtungsvektor \(\vec{v}\). Der Punkt \(F\) ist der Fußpunkt des Lots von \(A\) auf \(g\).

1. Begründe, dass \(|\overline{BF}|=2\cdot |\overline{AF}|\) gilt.
2. Gib einen Term an, mit dem man die Koordinaten von \(B\) bestimmen könnte, wenn die Koordinaten von \(A\) und \(F\) sowie die Komponenten von \( \vec{v}\) bekannt wären.

#iqb

Aufgabe 12  Dreieck Koordinaten (gAN) 𝕃

Gegeben sind die Punkte \( A(5|0|a)\) und \(B(2|4|5)\). Der Koordinatenursprung wird mit \(O\) bezeichnet.

1. Bestimme denjenigen Wert von \( a\), für den \(A\) und \(B\) den Abstand 5 haben.
2. Ermittle denjenigen Wert von \( a\), für den das Dreieck \(OAB\) im Punkt \(B\) rechtwinklig ist.

#iqb

Aufgabe 13  Parallelogramm (eAN) 𝕋  𝕃

Die Punkte \(B\left(4\left|3\right|12\right)\) und \(C\left(2\left|4\right|10\right)\) sind Eckpunkte eines Parallelogramms \(ABCD\), dessen Diagonalen sich im Punkt \(M\left(3\left|2\right|1\right)\) schneiden.

1. Verschiebt man jeden der Punkte \(A,B,C,D\) und \(M\) parallel zur \(x_3\)-Achse in die \(x_1x_2\)-Ebene, so ergeben sich die Punkte \(A^\prime,B^\prime,C^\prime,D^\prime\) bzw. \(M^\prime\). Das Viereck \(A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime\) ist ein Parallelogramm, dessen Diagonalen sich im Punkt \(M^\prime\) schneiden.

Zeichne \(A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime\) und \(M^\prime\) in die Abbildung ein.

2. Berechne den Wert des Skalarprodukts \(\overrightarrow{CM}\circ\overrightarrow{CB}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -9 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\) und beurteile, ob der Winkel zwischen den Vektoren \(\overrightarrow{CM}\) und \(\overrightarrow{CB}\) kleiner als \(90^\circ\) ist.

#iqb

Aufgabe 14  Schwerpunkt eines Dreiecks 𝕃

Gegeben sind die Punkte \(A(-4|-2), B(8|4)\) und \(C(2|10)\).

1. Berechne die Koordinaten der Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks \(\Delta ABC\).
   Zeichne das Dreieck zusammen mit diesen Seitenmitten in ein Koordinatensystem. 
2. \(g_1, g_2\) und \(g_3\) sind die Verbindungsgeraden dieser Mittelpunkte mit dem jeweils gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks. Bestimme jeweils eine Gleichung dieser Geraden.
   Zeichne diese Geraden in das obige Koordinatensystem. 
3. Zeige durch Rechnung, dass sich \(g_1, g_2\) und \(g_3\) in einem Punkt schneiden. 

#mathebrücke