Pool

1  Skate-Rampe  (k.A.) 𝕃

  
Die folgende Abbildung zeigt eine Skate-Rampe.

Abb.: Skate-Rampe (vgl. Haas & Morath (2006) (Hrsg.). „Anwendungsorientierte Aufgaben für die Sekundarstufe II“(S.39). Braunschweig: Westermann Verlag.)

Die Rampe ist massiv aus Beton gegossen. Diskutiere Möglichkeiten, das Gewicht der Rampe nur anhand der Abbildung und der Dichte von Beton (zwischen 1,5 und 2,5 g/cm³) abzuschätzen.

2  Spielzeug-Holzbrücke Symmetrie  (k.A.) 𝕃

Die Abbildung zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.

Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in \(\mathbb{R}\)definierten Funktion \(f: x \mapsto \frac{1}{20} x^4-\frac{2}{5}x^2+1\) beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von \(f\) dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Während der Planung der Brückenform kamen zur Beschreibung der oberen Randlinie für das linke Bauteil eine Funktion \(g_l\) und für das rechte Bauteil eine Funktion \(g_r\) infrage. Auch bei Verwendung dieser Funktionen wäre die obere Randlinie achsensymmetrisch gewesen.

1. Beurteile jede der folgenden Aussagen:
   I: \(-g_l(x)=g_r(-x)\) für \(-2\leq x \leq -1\)
   II: \(g_l(x-1)=g_r(-x+1)\) für \(-1\leq x\leq 0\)

  
Die Form und die Größe der Brücke werden verändert, indem im bisher verwendeten Modell die obere Randlinie des Längsschnitts mithilfe der in \(\mathbb{R}\)definierten Funktion \(k:x\mapsto\frac{3}{5} \cdot \cos(\frac{\pi}{3}x)+\frac{4}{5}\) beschrieben wird. Die Bauteile der veränderten Brücke lassen sich nach dem in der folgenden Abbildung dargestellten Prinzip aus einem quaderförmigen Holzblock sägen. Der beim Sägen auftretende Materialverlust soll im Folgenden vernachlässigt werden.

3  CO2-Konzentration trigonometrisch  (k.A.)

In einer Messstation wird seit 1958 kontinuierlich die CO₂-Konzentration in der Luft
gemessen, die in ppm (parts per million) angegeben wird. Innerhalb eines Jahres schwankt die CO₂-Konzentration. Für einen bestimmten Zeitraum von acht Monaten lassen sich die gemessenen Werte modellhaft durch die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(k: x \mapsto 3,3\cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}x\right)+406\) beschreiben. Dabei ist \(x\) die in diesem Zeitraum vergangene Zeit in Monaten und \(k(x)\) die CO₂-Konzentration in ppm. Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass jeder Monat 30 Tage hat.
  

1. Gib an, wie der Graph von \(k\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(s: x \mapsto \sin(x)\) hervorgeht. Beurteile, ob die Reihenfolge der einzelnen Schritte von Bedeutung ist.

4  Anzahl Gleichungslösungen  (k.A.)

Gegeben sind die in \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \( f: x \mapsto \cos(x)\) und \( g_k: x \mapsto k\cdot x^2\) mit \( k \in \mathbb{R}^+\). Die Abbildung zeigt die Graphen von \(f\) und \(g_{\frac{1}{50}}\).

1.Entscheide, ob es Werte von \(k\) gibt, für die die Gleichung \(f(x)=g_k(x)\) mehr als 2022 Lösungen hat. Begründe deine Entscheidung.