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Version 143.1 von Holger Engels am 2024/07/11 20:26

Die folgende Abbildung zeigt eine Skate-Rampe.

Skate-Rampe.PNG
Abb.: Skate-Rampe (vgl. Haas & Morath (2006) (Hrsg.). „Anwendungsorientierte Aufgaben für die Sekundarstufe II“(S.39). Braunschweig: Westermann Verlag.)

Die Rampe ist massiv aus Beton gegossen. Diskutiere Möglichkeiten, das Gewicht der Rampe nur anhand der Abbildung und der Dichte von Beton (zwischen 1,5 und 2,5 g/cm3) abzuschätzen.

#problemlösen

AFB   k.A.Kompetenzen   k.A.Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   ProblemlösegruppeLizenz   k.A.

Die Abbildung zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.

SpielzeugHolzbrücke.png

Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in \mathbb{R} definierten Funktion f: x \mapsto \frac{1}{20} x^4-\frac{2}{5}x^2+1 beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von f dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Während der Planung der Brückenform kamen zur Beschreibung der oberen Randlinie für das linke Bauteil eine Funktion g_l und für das rechte Bauteil eine Funktion g_r infrage. Auch bei Verwendung dieser Funktionen wäre die obere Randlinie achsensymmetrisch gewesen.

  1. Beurteile jede der folgenden Aussagen:
    I: -g_l(x)=g_r(-x) für -2\leq x \leq -1
    II: g_l(x-1)=g_r(-x+1) für -1\leq x\leq 0

Die Form und die Größe der Brücke werden verändert, indem im bisher verwendeten Modell die obere Randlinie des Längsschnitts mithilfe der in \mathbb{R} definierten Funktion k:x\mapsto\frac{3}{5} \cdot \cos(\frac{\pi}{3}x)+\frac{4}{5} beschrieben wird. Die Bauteile der veränderten Brücke lassen sich nach dem in der folgenden Abbildung dargestellten Prinzip aus einem quaderförmigen Holzblock sägen. Der beim Sägen auftretende Materialverlust soll im Folgenden vernachlässigt werden.

SpielzeugHolzbrückegesägt.png

  1. Der Graph von k ist symmetrisch bezüglich jedes seiner Wendepunkte. Beschreibe, wie diese Eigenschaft mit dem in der 2. Abbildung dargestellten Prinzip zusammenhängt.
  2. Ermittle mithilfe des Funktionsterms von k den Flächeninhalt der gesamten in der 2. Abbildung gezeigten rechteckigen Vorderseite des Holzblocks.

#iqb

AFB   IIIKompetenzen   K1 K3 K4 K6Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.
)))

In einer Messstation wird seit 1958 kontinuierlich die CO2-Konzentration in der Luft gemessen, die in ppm (parts per million) angegeben wird. Innerhalb eines Jahres schwankt die CO2-Konzentration. Für einen bestimmten Zeitraum von acht Monaten lassen sich die gemessenen Werte modellhaft durch die in \mathbb{R} definierte Funktion k: x \mapsto 3,3\cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}x\right)+406 beschreiben. Dabei ist x die in diesem Zeitraum vergangene Zeit in Monaten und k(x) die CO2-Konzentration in ppm. Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass jeder Monat 30 Tage hat.
 
Gib an, wie der Graph von k schrittweise aus dem Graphen der in \mathbb{R} definierten Funktion s: x \mapsto \sin(x) hervorgeht. Beurteile, ob die Reihenfolge der einzelnen Schritte von Bedeutung ist.

#iqb

AFB   IIKompetenzen   K1 K4 K6Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Gegeben sind die in \mathbb{R} definierten Funktionen f: x \mapsto \cos(x) und g_k: x \mapsto k\cdot x^2 mit k \in \mathbb{R}^+. Die Abbildung zeigt die Graphen von f und g_{\frac{1}{50}}.

Entscheide, ob es Werte von k gibt, für die die Gleichung f(x)=g_k(x) mehr als 2022 Lösungen hat. Begründe deine Entscheidung.
 
cosx,kxhoch2.PNG

#iqb

AFB   k.A.Kompetenzen   K1 K6Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Betrachtet wird die in \mathbb{R} definierte Funktion s mit s(x)=a\cdot \sin(b\cdot x)+1. Die Punkte E_1\left(-2|-1\right) und E_2\left(2|3\right) sind direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von s.

Bestimme die Werte von a und b.
  

#iqb

AFB   IIKompetenzen   K1 K2 K5Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQBLizenz   k.A.

Eine in \mathbb{R} definierte Kosinusfunktion f hat die Periode p. Der Punkt \left(\frac{p}{2}\left|p\right) ist ein Hochpunkt des Graphen von f, der Punkt \left(\frac{p}{4}\left|\frac{p}{2}\right) ein Wendepunkt. 

Bestimme eine Funktionsgleichung der Kosinusfunktion in Abhängigkeit von p.

#iqb

AFB   k.A.Kompetenzen   k.A.Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   pdfLizenz   k.A.

IQB-Index

BPE 1

Abstand Graph Koordinatenursprung

BPE 4

Aufstellen eines Funktionstermes, CO2-Konzentration, Radioaktiver Zerfall

BPE 7

Eckpunkte einer Pyramide, Pyramide, Gleichschenkliges Dreieck, Saarpolygon, Zylinder, Vektoren Sechseck, Nachweis Dreieck, Flächeninhalte Verhältnis, Punktbestimmung durch Skalarprodukt, Nachweis Quader, Berechnungen am Quader, Rasenfläche, Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt, Ähnlichkeit und Strahlensätze, Dreieck Koordinaten, Parallelogramm

BPE 10

Sinusparameter bestimmen, Kosinusfunktion aufstellen, Anzahl Gleichungslösungen, CO2-Konzentration trigonometrisch

BPE 12

Verschiebung durch Ableiten, Ableitung berechnen und grafisch ermitteln, Transformation, Stammfunktion, Tangente Funktionsschar, Grad, Skizze, Kosinusfunktion, Periode, Steigung, Lokale und mittlere Änderungsrate

BPE 13

Fläche, Quadrat, Funktionsschar, Symmetrie und Flächeninhalt, Steigung, Volumen, Stau MMS, Stau WTR, Schalldruck1, Schalldruck2, Hängebrücke, Sinusgraph, Grafisch Integralwert bestimmen

BPE 16

Geradenschar, LGS graphisch, Doppelpyramide, Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt, Raute, Geradenschar, Rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck, Spiegelebene, Rasenfläche, Ebenenschar, Oktaeder, Geraden zeichnen, Quader verschieben, Geradenlage und rechter Winkel, Quadrat Diagonale

BPE 17

Zwei Behälter, Glücksrad, Kugelbehälter, Kugeln mit negativen Zahlen, Zufallsgröße Tetraeder, Glücksrad Zufallsgröße, Würfel beschriften, Glücksrad Spendengala, Verpackter Ball, Dichtefunktion Normalverteilung, Tetraeder, Kugeln und Würfel, Glücksradiqb, Urlaubsreise, Olivenöl

BPE 18

LGS, Lösungsvielfalt