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Version 150.1 von akukin am 2024/10/10 21:06

Die folgende Abbildung zeigt eine Skate-Rampe.

Skate-Rampe.PNG
Abb.: Skate-Rampe (vgl. Haas & Morath (2006) (Hrsg.). „Anwendungsorientierte Aufgaben für die Sekundarstufe II“(S.39). Braunschweig: Westermann Verlag.)

Die Rampe ist massiv aus Beton gegossen. Diskutiere Möglichkeiten, das Gewicht der Rampe nur anhand der Abbildung und der Dichte von Beton (zwischen 1,5 und 2,5 g/cm3) abzuschätzen.

#problemlösen

AFB   k.A.Kompetenzen   k.A.Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   ProblemlösegruppeLizenz   k.A.

Die Abbildung zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hindurch.

SpielzeugHolzbrücke.png

Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in \mathbb{R} definierten Funktion f: x \mapsto \frac{1}{20} x^4-\frac{2}{5}x^2+1 beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte dieser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von f dargestellt. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Während der Planung der Brückenform kamen zur Beschreibung der oberen Randlinie für das linke Bauteil eine Funktion g_l und für das rechte Bauteil eine Funktion g_r infrage. Auch bei Verwendung dieser Funktionen wäre die obere Randlinie achsensymmetrisch gewesen.

  1. Beurteile jede der folgenden Aussagen:
    I: -g_l(x)=g_r(-x) für -2\leq x \leq -1
    II: g_l(x-1)=g_r(-x+1) für -1\leq x\leq 0

Die Form und die Größe der Brücke werden verändert, indem im bisher verwendeten Modell die obere Randlinie des Längsschnitts mithilfe der in \mathbb{R} definierten Funktion k:x\mapsto\frac{3}{5} \cdot \cos(\frac{\pi}{3}x)+\frac{4}{5} beschrieben wird. Die Bauteile der veränderten Brücke lassen sich nach dem in der folgenden Abbildung dargestellten Prinzip aus einem quaderförmigen Holzblock sägen. Der beim Sägen auftretende Materialverlust soll im Folgenden vernachlässigt werden.

SpielzeugHolzbrückegesägt.png

  1. Der Graph von k ist symmetrisch bezüglich jedes seiner Wendepunkte. Beschreibe, wie diese Eigenschaft mit dem in der 2. Abbildung dargestellten Prinzip zusammenhängt.
  2. Ermittle mithilfe des Funktionsterms von k den Flächeninhalt der gesamten in der 2. Abbildung gezeigten rechteckigen Vorderseite des Holzblocks.

#iqb

AFB   IIIKompetenzen   K1 K3 K4 K6Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY
)))

Betrachtet wird die Schar der in \mathbb{R} definierten Funktionen f_a mit f_a\left(x\right)=x\cdot e^{a\cdot x}, \ a\in\mathbb{R}, \ a\neq0. Für jeden Wert von a besitzt die Funktion f_a genau eine Extremstelle.

  1. Begründe, dass der Graph von f_a für x<0 unterhalb der x-Achse verläuft.
  2. Beide Abbildungen zeigen einen Graphen der Schar, einen der beiden für einen positiven Wert von a. Entscheide, welche Abbildung dies ist, und begründe deine Entscheidung.
    Graphenfunktionsschar.png

Hinweis:
Der Begriff „Schar“ beziehungsweise „Funktionsschar“ ist nicht konform zum Bildungsplan für berufliche Gymnasien in Baden-Württemberg. Deswegen wäre eine derartige Aufgabe für die Abiturprüfung an beruflichen Gymnasien nicht zulässig.

Eine bildungsplankonforme Variante wäre zum Beispiel:
Betrachtet wird die in \mathbb{R} definierte Funktion f mit f\left(x\right)=x\cdot e^{a\cdot x}. Dabei ist a\in\mathbb{R}, \ a\neq0 eine feste Zahl. Die Funktion f besitzt genau eine Extremstelle.

  1. Begründe, dass der Graph von f für x<0 unterhalb der x-Achse verläuft.
  2. Beide Abbildungen zeigen einen Graphen für zwei unterschiedliche Werte von a, einen der beiden für einen positiven Wert von a. Entscheide, welche Abbildung dies ist, und begründe deine Entscheidung.
    Graphenfunktionsschar.png

#iqb

AFB   k.A.Kompetenzen   K1 K2 K4 K5Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY

Für eine Zahl a>0 zeigt die Abbildung den Graphen G der in \mathbb{R} definierten Funktion f mit f\left(x\right)=x^3-2ax^2+a^2x sowie die Gerade h. G und h schneiden sich im Koordinatenursprung und h verläuft senkrecht zur Tangente an G im Koordinatenursprung. Zudem berühren sich G und die x-Achse im Punkt \left(a\middle|0\right).
Betrachtet wird dasjenige Rechteck, das die folgenden Eigenschaften besitzt:

  • Die beiden gemeinsamen Punkte von G und der x-Achse sind zwei benachbarte Eckpunkte des Rechtecks.
  • Eine Diagonale liegt auf der Geraden h.
    Skizziere das Rechteck in der Abbildung und zeige, dass der Flächeninhalt des Rechtecks unabhängig von a ist.

#iqb

AFB   k.A.Kompetenzen   K1 K2 K4 K5 K6Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY

IQB-Index

BPE 1

Abstand Graph Koordinatenursprung

BPE 4

Aufstellen eines Funktionstermes, CO2-Konzentration, Radioaktiver Zerfall

BPE 7

Eckpunkte einer Pyramide, Pyramide, Gleichschenkliges Dreieck, Saarpolygon, Zylinder, Vektoren Sechseck, Nachweis Dreieck, Flächeninhalte Verhältnis, Punktbestimmung durch Skalarprodukt, Nachweis Quader, Berechnungen am Quader, Rasenfläche, Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt, Ähnlichkeit und Strahlensätze, Dreieck Koordinaten, Parallelogramm

BPE 10

Sinusparameter bestimmen, Kosinusfunktion aufstellen, Anzahl Gleichungslösungen, CO2-Konzentration trigonometrisch

BPE 12

Verschiebung durch Ableiten, Ableitung berechnen und grafisch ermitteln, Transformation, Stammfunktion, Tangente Funktionsschar, Grad, Skizze, Kosinusfunktion, Periode, Steigung, Lokale und mittlere Änderungsrate

BPE 13

Fläche, Quadrat, Funktionsschar, Symmetrie und Flächeninhalt, Steigung, Volumen, Stau MMS, Stau WTR, Schalldruck1, Schalldruck2, Hängebrücke, Sinusgraph, Grafisch Integralwert bestimmen

BPE 16

Geradenschar, LGS graphisch, Doppelpyramide, Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt, Raute, Geradenschar, Rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck, Spiegelebene, Rasenfläche, Ebenenschar, Oktaeder, Geraden zeichnen, Quader verschieben, Geradenlage und rechter Winkel, Quadrat Diagonale

BPE 17

Zwei Behälter, Glücksrad, Kugelbehälter, Kugeln mit negativen Zahlen, Zufallsgröße Tetraeder, Glücksrad Zufallsgröße, Würfel beschriften, Glücksrad Spendengala, Verpackter Ball, Dichtefunktion Normalverteilung, Tetraeder, Kugeln und Würfel, Glücksradiqb, Urlaubsreise, Olivenöl

BPE 18

LGS, Lösungsvielfalt